Usando substituições trigonométricas convenientes, calcule as seguintes integrais: integral1^2 4x raiz4-x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado é:
integral1^2 4x raiz4 - x^2 , dx
Aqui, estamos lidando com integrais que envolvem substituições trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar uma substituição que simplifique a expressão dentro da raiz quadrada. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma substituição trigonométrica conveniente. Observando a expressão x = 2 sintheta , percebemos que é parecido com a identidade trigonométrica . Então, podemos fazer a seguinte substituição:

Passo 3

Agora, vamos derivar essa substituição para encontrar dx = 2 costheta , dtheta :

Passo 4

Substituindo integral 4x raiz4 - x^2 , dx = integral 42 sintheta cdot raiz4 - 4 sin^2theta cdot 2 costheta , dtheta e = integral 42 sintheta cdot 2 costheta cdot 2 costheta , dtheta = integral 44 sintheta costheta cdot 2 costheta , dtheta = integral 2sintheta , dtheta na integral original:
Simplificando os termos:

Passo 5

Agora, precisamos integrar 2 integral csctheta , dtheta . Sabemos que integral csctheta , dtheta = -ln|csctheta + cottheta| + C , então a integral fica:
2 integral csctheta , dtheta = -2 ln|csctheta + cottheta| + C
A integral de é:
Então, temos:

Passo 6

Agora, precisamos voltar para a variável original csctheta = 1sintheta = 2x . Lembrando que cottheta = costhetasintheta = raiz4 - x^2x , podemos desenhar um triângulo retângulo para encontrar e .
Se , então e o triângulo terá:
  • O cateto oposto:
  • A hipotenusa:
  • O cateto adjacente:
Então:

Passo 7

Substituindo de volta na expressão da integral:
-2 ln|2x + raiz4 - x^2x| + C = -2 ln|2 + raiz4 - x^2x| + C

Passo 8

Agora, aplicamos os limites de integração de 1 a 2. Então, a integral definida fica:
-2 ln|2 + raiz4 - x^2x| gr|1^2
Calculando para -2 ln|2 + raiz4 - 42| = -2 ln|2 + 02| = -2 ln(1) = 0 :
-2 ln|2 + raiz4 - 11| = -2 ln|2 + raiz3|
Calculando para 0 - (-2 ln(2 + raiz3)) = 2 ln(2 + raiz3) :
Então, a diferença é:

Resposta

A integral vale .

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