Usando substituições trigonométricas convenientes, calcule as seguintes integrais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado é:
Aqui, estamos lidando com integrais que envolvem substituições trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar uma substituição que simplifique a expressão dentro da raiz quadrada. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma substituição trigonométrica conveniente. Observando a expressão , percebemos que é parecido com a identidade trigonométrica . Então, podemos fazer a seguinte substituição:
Passo 3
Agora, vamos derivar essa substituição para encontrar :
Passo 4
Substituindo e na integral original:
Simplificando os termos:
Passo 5
Agora, precisamos integrar . Sabemos que , então a integral fica:
A integral de é:
Então, temos:
Passo 6
Agora, precisamos voltar para a variável original . Lembrando que , podemos desenhar um triângulo retângulo para encontrar e .
Se , então e o triângulo terá:
O cateto oposto:
A hipotenusa:
O cateto adjacente:
Então:
Passo 7
Substituindo de volta na expressão da integral:
Passo 8
Agora, aplicamos os limites de integração de 1 a 2. Então, a integral definida fica: