Usando substituições trigonométricas convenientes, calcule as seguintes integrais:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado é:
Aqui, estamos lidando com integrais que envolvem substituições trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar uma substituição que simplifique a expressão dentro da raiz quadrada. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma substituição trigonométrica conveniente. Observando a expressão , percebemos que é parecido com a identidade trigonométrica . Então, podemos fazer a seguinte substituição:

Passo 3

Agora, vamos derivar essa substituição para encontrar :

Passo 4

Substituindo e na integral original:
Simplificando os termos:

Passo 5

Agora, precisamos integrar . Sabemos que , então a integral fica:
A integral de é:
Então, temos:

Passo 6

Agora, precisamos voltar para a variável original . Lembrando que , podemos desenhar um triângulo retângulo para encontrar e .
Se , então e o triângulo terá:
  • O cateto oposto:
  • A hipotenusa:
  • O cateto adjacente:
Então:

Passo 7

Substituindo de volta na expressão da integral:

Passo 8

Agora, aplicamos os limites de integração de 1 a 2. Então, a integral definida fica:
Calculando para :
Calculando para :
Então, a diferença é:

Resposta

A integral vale .

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