, onde
é a região limitada pelo cardioide
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla que envolve a função
sobre a região
delimitada pelo cardioide
. Aqui, estamos trabalhando com cálculo em coordenadas polares, que é super útil quando lidamos com regiões circulares ou curvas como esse cardioide. Vamos precisar usar a fórmula da integral dupla em coordenadas polares e entender um pouco sobre a forma do cardioide.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função que estamos integrando,
. Em coordenadas polares, essa expressão simplifica para
, onde
é a distância do ponto até a origem. Então, nossa integral fica:
Passo 3
Agora, precisamos expressar a área diferencial
em coordenadas polares. Sabemos que
. Portanto, a integral se transforma em:
Passo 4
Vamos determinar os limites de integração. O cardioide dado por
é simétrico em relação ao eixo
, variando
de
a
. Para cada
,
varia de
até
. Portanto, nossos limites são:
Passo 5
Agora, vamos escrever a integral com esses limites:
Passo 6
Primeiro, integramos em relação a
:
Passo 7
Agora, a integral fica:
Passo 8
Vamos expandir
:
Passo 9
Agora, a integral se divide em partes mais simples:
Passo 10
Vamos resolver cada integral separadamente:
-
-
(porque a função é simétrica e se cancela no intervalo completo) - Para
, usamos a identidade :
-
(novamente, pela simetria da função)
Passo 11
Substituindo esses resultados de volta na expressão principal:
Resposta
A integral dupla vale
.