integral duplaD raizx^2+y^2 d A, onde D é a região limitada pelo cardioide r=1+cos theta

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que envolve a função sobre a região delimitada pelo cardioide . Aqui, estamos trabalhando com cálculo em coordenadas polares, que é super útil quando lidamos com regiões circulares ou curvas como esse cardioide. Vamos precisar usar a fórmula da integral dupla em coordenadas polares e entender um pouco sobre a forma do cardioide.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que estamos integrando, integral duplaD r , dA . Em coordenadas polares, essa expressão simplifica para , onde é a distância do ponto até a origem. Então, nossa integral fica:

Passo 3

Agora, precisamos expressar a área diferencial integral duplaD r cdot r , dr , dtheta = integral duplaD r^2 , dr , dtheta em coordenadas polares. Sabemos que . Portanto, a integral se transforma em:

Passo 4

Vamos determinar os limites de integração. O cardioide dado por 0 <= theta <= 2pi 0 <= r <= 1 + cos theta é simétrico em relação ao eixo , variando de a . Para cada , varia de até . Portanto, nossos limites são:

Passo 5

Agora, vamos escrever a integral com esses limites:
integral0^2pi integral0^1 + cos theta r^2 , dr , dtheta

Passo 6

Primeiro, integramos em relação a integral0^1 + cos theta r^2 , dr = [ r^33 ]0^1 + cos theta = (1 + cos theta)^33 :

Passo 7

Agora, a integral fica:
integral0^2pi (1 + cos theta)^33 , dtheta = 13 integral0^2pi (1 + cos theta)^3 , dtheta

Passo 8

Vamos expandir (1 + cos theta)^3 = 1 + 3cos theta + 3cos^2 theta + cos^3 theta :

Passo 9

Agora, a integral se divide em partes mais simples:
13 [ integral0^2pi 1 , dtheta + 3integral0^2pi cos theta , dtheta + 3integral0^2pi cos^2 theta , dtheta + integral0^2pi cos^3 theta , dtheta ]

Passo 10

Vamos resolver cada integral separadamente:
  1. integral0^2pi 1 + cos 2theta2 , dtheta = 12 [ integral0^2pi 1 , dtheta + integral0^2pi cos 2theta , dtheta ] = 12 (2pi + 0) = pi
  2. (porque a função é simétrica e se cancela no intervalo completo)
  3. Para , usamos a identidade :
  1. (novamente, pela simetria da função)

Passo 11

Substituindo esses resultados de volta na expressão principal:
13 [ 2pi + 3(0) + 3(pi) + 0 ] = 13 (2pi + 3pi) = 13 (5pi) = 5pi3

Resposta

A integral dupla vale .

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