Calcule as integrais trigonométricas. integral cos ^3 x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de cos^3 x , dx. Estamos lidando com integrais de funções trigonométricas, especificamente com potências de cosseno. Para resolver isso, vamos precisar usar uma técnica chamada identidade trigonométrica para simplificar a expressão antes de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever cos^3 x de uma forma que facilite a integração. Podemos separar um cosseno e deixar os outros dois dentro de um quadrado:
cos^3 x = cos x cdot cos^2 x

Passo 3

Agora, usamos a identidade trigonométrica que relaciona cos^2 x com o seno:
cos^2 x = 1 - sin^2 x
Substituindo isso na expressão anterior:
cos^3 x = cos x cdot (1 - sin^2 x)

Passo 4

A integral fica então:
integral cos^3 x , dx = integral cos x (1 - sin^2 x) , dx
Agora, vamos usar uma substituição para facilitar. Vamos deixar u = sin x. Assim, a derivada de u em relação a x é:
du = cos x , dx

Passo 5

Substituindo na integral:
integral cos x (1 - sin^2 x) , dx = integral (1 - u^2) , du
Essa integral é mais simples de resolver.

Passo 6

Integrando termo a termo:
integral (1 - u^2) , du = integral 1 , du - integral u^2 , du = u - u^33 + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Agora, voltamos à variável original substituindo u = sin x:
u - u^33 + C = sin x - sin^3 x3 + C

Resposta

Portanto, a integral de cos^3 x , dx é:
integral cos^3 x , dx = sin x - sin^3 x3 + C

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