Calcule as integrais triplas abaixo, usando uma coordenadas esféricas.
, onde
é o sólido limitado pelo plano
e as semiesferas
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral usando coordenadas esféricas! A questão pede para calcular a integral tripla de
sobre o sólido
, que está limitado pelo plano
e pelas semiesferas
e
. Para isso, vamos precisar entender como converter coordenadas cartesianas para esféricas e como configurar os limites de integração nesse sistema de coordenadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como são as coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é definido por três parâmetros: o raio
(a distância do ponto à origem), o ângulo polar
(o ângulo em relação ao eixo z) e o ângulo azimutal
(o ângulo no plano xy a partir do eixo x). As relações de conversão são:
Além disso, o elemento de volume
em coordenadas esféricas é dado por:
Passo 3
Agora, vamos analisar o sólido
. Ele está limitado pelo plano
, que em coordenadas esféricas corresponde a
, e pelas semiesferas
e
. Essas semiesferas podem ser reescritas como
e
, onde
.
Em coordenadas esféricas, essas equações se transformam em:
Elevando ambos os lados ao quadrado e resolvendo, percebemos que essas são semiesferas de raios 1 e 3, respectivamente. Portanto,
varia de 1 a 3.
Passo 4
Vamos agora estabelecer os limites de integração para cada coordenada:
-
varia de 1 a 3, já que estamos entre as duas esferas. -
varia de 0 a , pois estamos acima do plano . -
varia de 0 a , cobrindo toda a rotação ao redor do eixo z.
Passo 5
Agora, vamos reescrever a função que vamos integrar em coordenadas esféricas. Temos:
Então, a integral tripla fica:
Simplificando, temos:
Passo 6
Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a
:
Passo 7
Em seguida, integramos em relação a
:
Vamos fazer uma substituição simples para facilitar. Seja
, então
. Quando
,
e quando
,
. A integral se transforma em:
Passo 8
Por último, integramos em relação a
:
Resposta
Multiplicando todos os resultados:
Então, o valor da integral tripla é
.