Calcule as integrais triplas abaixo, usando uma coordenadas esféricas. integral triplaW z^3raizx^2+y^2+z^2 d V, onde W é o sólido limitado pelo plano z=0 e as semiesferas z=raiz1-x^2-y^2 e z=raiz9-x^2-y^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral usando coordenadas esféricas! A questão pede para calcular a integral tripla de sobre o sólido , que está limitado pelo plano e pelas semiesferas e . Para isso, vamos precisar entender como converter coordenadas cartesianas para esféricas e como configurar os limites de integração nesse sistema de coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como são as coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é definido por três parâmetros: o raio x = rho sinphi costheta (a distância do ponto à origem), o ângulo polar y = rho sinphi sintheta (o ângulo em relação ao eixo z) e o ângulo azimutal z = rho cosphi (o ângulo no plano xy a partir do eixo x). As relações de conversão são:
dV = rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta
Além disso, o elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por:

Passo 3

Agora, vamos analisar o sólido rho cosphi = raiz1 - rho^2 sin^2phi . Ele está limitado pelo plano rho cosphi = raiz9 - rho^2 sin^2phi , que em coordenadas esféricas corresponde a , e pelas semiesferas e . Essas semiesferas podem ser reescritas como e , onde .
Em coordenadas esféricas, essas equações se transformam em:
Elevando ambos os lados ao quadrado e resolvendo, percebemos que essas são semiesferas de raios 1 e 3, respectivamente. Portanto, varia de 1 a 3.

Passo 4

Vamos agora estabelecer os limites de integração para cada coordenada:
  • varia de 1 a 3, já que estamos entre as duas esferas.
  • varia de 0 a , pois estamos acima do plano .
  • varia de 0 a , cobrindo toda a rotação ao redor do eixo z.

Passo 5

Agora, vamos reescrever a função que vamos integrar em coordenadas esféricas. Temos:
z^3raizx^2+y^2+z^2 = (rho cosphi)^3rho = rho^2 cos^3phi
Então, a integral tripla fica:
integral triplaW z^3raizx^2+y^2+z^2 , dV = integral0^2pi integral0^pi2 integral1^3 rho^2 cos^3phi cdot rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta
Simplificando, temos:
integral0^2pi integral0^pi2 integral1^3 rho^4 cos^3phi sinphi , drho , dphi , dtheta

Passo 6

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a integral1^3 rho^4 , drho = [ rho^55 ]1^3 = 3^55 - 1^55 = 2435 - 15 = 2425 :

Passo 7

Em seguida, integramos em relação a integral0^pi2 cos^3phi sinphi , dphi :
integral1^0 u^3 (-du) = integral0^1 u^3 du = [ u^44 ]0^1 = 14 - 0 = 14
Vamos fazer uma substituição simples para facilitar. Seja , então . Quando , e quando , . A integral se transforma em:

Passo 8

Por último, integramos em relação a integral0^2pi dtheta = 2pi :

Resposta

Multiplicando todos os resultados:
2425 times 14 times 2pi = 2425 times 12 pi = 24210 pi = 1215 pi
Então, o valor da integral tripla é .

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