Nos seguintes exercícios, use coordenadas cilíndricas para calcular integral triplaW z d V, onde W é o sólido limitado pelas semiesfera z=raiz8-x^2-y^2 e pelo paraboloide z=x^2+y^22.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla integral triplaW z , dV usando coordenadas cilíndricas. O sólido W está limitado pela semiesfera z = raiz8 - x^2 - y^2 e pelo paraboloide z = x^2 + y^22. Para isso, vamos precisar entender como converter as equações para coordenadas cilíndricas e encontrar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos converter as equações que definem o sólido W para coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, temos que:
  • x = rcostheta
  • y = rsintheta
  • z = z
Então, substituindo na equação da semiesfera:
z = raiz8 - x^2 - y^2 = raiz8 - r^2
E na equação do paraboloide:
z = x^2 + y^22 = r^22

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os limites de integração para r, theta e z. Primeiro, vamos achar onde as duas superfícies se intersectam:
raiz8 - r^2 = r^22
Elevando ambos os lados ao quadrado:
8 - r^2 = r^44
Multiplicando tudo por 4 para eliminar o denominador:
32 - 4r^2 = r^4
Rearranjando:
r^4 + 4r^2 - 32 = 0
Vamos resolver essa equação para r^2:
r^2 = -4 pm raiz16 + 1282 = -4 pm raiz1442 = -4 pm 122
A solução positiva é:
r^2 = 82 = 4 implies r = 2
Então, o raio máximo é r = 2.
O ângulo theta varia de 0 a 2pi, já que o sólido é completo em torno do eixo z.
Para z, ele varia do paraboloide até a semiesfera, ou seja:
r^22 <= z <= raiz8 - r^2

Passo 4

Agora, vamos montar a integral tripla em coordenadas cilíndricas. Lembrando que o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é dV = r , dz , dr , dtheta, a integral fica:
integral triplaW z , dV = integral0^2pi integral0^2 integralr^22^raiz8 - r^2 z cdot r , dz , dr , dtheta

Passo 5

Vamos integrar passo a passo. Primeiro, integramos em relação a z:
integralr^22^raiz8 - r^2 z cdot r , dz = r [ z^22 ]r^22^raiz8 - r^2 = r ( (raiz8 - r^2)^22 - (r^22)^22 )
Simplificando:
= r ( 8 - r^22 - r^48 ) = r ( 4 - r^22 - r^48 ) = 4r - r^32 - r^58
Agora, integramos em relação a r:
integral0^2 ( 4r - r^32 - r^58 ) dr = 2r^2 - r^48 - r^648 g|0^2
Calculando em r=2:
2(2)^2 - (2)^48 - (2)^648 = 8 - 168 - 6448 = 8 - 2 - 43 = 6 - 43 = 143
Por fim, integramos em relação a theta:
integral0^2pi 143 , dtheta = 143 cdot 2pi = 28pi3

Resposta

A integral tripla integral triplaW z , dV vale 28pi3.

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