Nos seguintes exercícios, use coordenadas cilíndricas para calcular , onde é o sólido limitado pelas semiesfera e pelo paraboloide .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla usando coordenadas cilíndricas. O sólido está limitado pela semiesfera e pelo paraboloide . Para isso, vamos precisar entender como converter as equações para coordenadas cilíndricas e encontrar os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos converter as equações que definem o sólido para coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, temos que:
Então, substituindo na equação da semiesfera:
E na equação do paraboloide:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os limites de integração para , e . Primeiro, vamos achar onde as duas superfícies se intersectam:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Multiplicando tudo por 4 para eliminar o denominador:
Rearranjando:
Vamos resolver essa equação para :
A solução positiva é:
Então, o raio máximo é .
O ângulo varia de a , já que o sólido é completo em torno do eixo .
Para , ele varia do paraboloide até a semiesfera, ou seja:
Passo 4
Agora, vamos montar a integral tripla em coordenadas cilíndricas. Lembrando que o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é , a integral fica:
Passo 5
Vamos integrar passo a passo. Primeiro, integramos em relação a :