Nos seguintes exercícios, use coordenadas cilíndricas para calcular O volume do sólido W limitado pelo cone z = raiz(x^2 + y^2) e a semiesfera z = raiz(9 - x^2 - y^2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para calcular o volume de um sólido chamado , que está limitado por duas superfícies: um cone dado por e uma semiesfera dada por . Para resolver isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, que são super úteis quando temos simetria circular, como nesse caso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as equações no sistema de coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, temos (a distância do ponto à origem no plano xy), (o ângulo em relação ao eixo x) e . As equações das superfícies ficam assim:
  • Cone:
  • Semiesfera:

Passo 3

Para encontrar o volume entre essas duas superfícies, precisamos determinar os limites de integração para , e .
  1. Para : O sólido é simétrico em torno do eixo z, então varia de a .
  2. Para : Precisamos encontrar onde o cone e a semiesfera se encontram. Igualando as duas equações: Então, varia de a .
  3. Para : Para cada , varia do cone até a semiesfera, ou seja, de até .

Passo 4

Agora, vamos montar o integral para calcular o volume :
Aqui, multiplicamos por porque, em coordenadas cilíndricas, o elemento de volume é .

Passo 5

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a :

Passo 6

Agora, integramos em relação a :
Vamos resolver cada integral separadamente.
Primeira Integral:
Fazendo a substituição , então , ou :
Voltando para :
Segunda Integral:
Aplicando os limites de a :
Simplificando:

Passo 7

Por fim, integramos em relação a :
Como volume não pode ser negativo, consideramos o valor absoluto:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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