Nos seguintes exercícios, use coordenadas cilíndricas para calcular
volume do sólido
limitado pelo cone
e a semiesfera
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para calcular o volume de um sólido chamado
, que está limitado por duas superfícies: um cone dado por
e uma semiesfera dada por
. Para resolver isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, que são super úteis quando temos simetria circular, como nesse caso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as equações no sistema de coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, temos
(a distância do ponto à origem no plano xy),
(o ângulo em relação ao eixo x) e
. As equações das superfícies ficam assim:
- Cone:
- Semiesfera:
Passo 3
Para encontrar o volume entre essas duas superfícies, precisamos determinar os limites de integração para
,
e
.
- Para
: O sólido é simétrico em torno do eixo z, então varia de a . - Para
: Precisamos encontrar onde o cone e a semiesfera se encontram. Igualando as duas equações: Então, varia de a . - Para
: Para cada , varia do cone até a semiesfera, ou seja, de até .
Passo 4
Agora, vamos montar o integral para calcular o volume
:
Aqui, multiplicamos por
porque, em coordenadas cilíndricas, o elemento de volume é
.
Passo 5
Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a
:
Passo 6
Agora, integramos em relação a
:
Vamos resolver cada integral separadamente.
Primeira Integral:
Fazendo a substituição
, então
, ou
:
Voltando para
:
Segunda Integral:
Aplicando os limites de
a
:
Simplificando:
Passo 7
Por fim, integramos em relação a
:
Como volume não pode ser negativo, consideramos o valor absoluto:
Resposta
O volume do sólido
é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Calcule as integrais triplas abaixo, usando uma coordenadas esféricas.
, onde
é o sólido limitado pelo plano
e as semiesferas
e
.
Nos seguintes exercícios, use coordenadas cilíndricas para calcular
, onde
é o sólido limitado pelas semiesfera
e pelo paraboloide
.
Calcule as integrais triplas abaixo, usando uma coordenadas esféricas.
, onde
Calcule o limite da sequência:
(1,0 pt)
(1,0 pt)