Calcule as integrais triplas abaixo, usando uma coordenadas esféricas. , onde

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral tripla , onde a região é definida por , e . Isso significa que estamos trabalhando com coordenadas esféricas. Vamos precisar das fórmulas de conversão para coordenadas esféricas e entender como ajustar os limites de integração para essa região.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como converter de coordenadas cartesianas para esféricas:
Além disso, o elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por:

Passo 3

Agora, vamos identificar os limites de integração para cada coordenada:
  • varia de a , ou seja, de 2 a 3.
  • varia de 0 a porque .
  • varia de 0 a porque .

Passo 4

Vamos reescrever a função em termos de coordenadas esféricas:
Substituindo na integral, ficamos com:
Simplificando, temos:

Passo 5

Vamos calcular cada integral separadamente:
  1. Integral em :
  1. Integral em :
  1. Integral em :

Resposta

Multiplicando os resultados das integrais:
Então, o valor da integral tripla é .

Exercícios relacionados

Nos seguintes exercícios, use coordenadas cilíndricas para calcular volume do sólido limitado pelo cone e a semiesfera .
Calcule as integrais triplas abaixo, usando uma coordenadas esféricas. , onde é o sólido limitado pelo plano e as semiesferas e .
Calcule o limite da sequência:

(1,0 pt)
Seja a série: , calcule e .