Calcule as integrais triplas abaixo, usando uma coordenadas esféricas. integral triplaW y d V, onde W=(x, y, z) in R^3 ; 4 <= x^2+y^2+z^2 <= 9, y >= 0, z >= 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral tripla , onde a região é definida por , e . Isso significa que estamos trabalhando com coordenadas esféricas. Vamos precisar das fórmulas de conversão para coordenadas esféricas e entender como ajustar os limites de integração para essa região.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como converter de coordenadas cartesianas para esféricas:
x = rho sinphi costheta y = rho sinphi sintheta z = rho cosphi
Além disso, o elemento de volume dV = rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta em coordenadas esféricas é dado por:

Passo 3

Agora, vamos identificar os limites de integração para cada coordenada:
  • varia de a , ou seja, de 2 a 3.
  • varia de 0 a porque .
  • varia de 0 a porque .

Passo 4

Vamos reescrever a função y = rho sinphi sintheta em termos de coordenadas esféricas:
integral triplaW y , dV = integral2^3 integral0^pi2 integral0^pi2 rho sinphi sintheta cdot rho^2 sinphi , dtheta , dphi , drho
Substituindo na integral, ficamos com:
integral2^3 rho^3 , drho cdot integral0^pi2 sin^2phi , dphi cdot integral0^pi2 sintheta , dtheta
Simplificando, temos:

Passo 5

Vamos calcular cada integral separadamente:
  1. Integral em integral2^3 rho^3 , drho = [rho^44]2^3 = 814 - 164 = 654 :
integral0^pi2 sin^2phi , dphi = pi4
  1. Integral em integral0^pi2 sintheta , dtheta = 1 :
  1. Integral em :

Resposta

Multiplicando os resultados das integrais:
654 times pi4 times 1 = 65pi16
Então, o valor da integral tripla é .

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