Seja a série: sumn=1^infty(n^2+1n), calcule S1, S2 e S3.
De

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma série infinita: sumn=1^infty(n^2+1n) e pede para calcular S1, S2 e S3. Aqui, Sk representa a soma dos primeiros k termos da série. Para resolver isso, vamos somar os termos um a um até chegar em S3. Vamos precisar saber como somar termos de uma série e aplicar um pouquinho de álgebra.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar S1. Isso significa somar apenas o primeiro termo da série. Quando n=1, temos:
S1 = 1^2 + 11 = 1 + 1 = 2

Passo 3

Agora, vamos calcular S2. Aqui, somamos os dois primeiros termos da série. Para n=1 e n=2:
Para n=1:
1^2 + 11 = 1 + 1 = 2
Para n=2:
2^2 + 12 = 4 + 0.5 = 4.5
Então, somando os dois:
S2 = 2 + 4.5 = 6.5

Passo 4

Finalmente, vamos calcular S3. Isso significa somar os três primeiros termos da série. Já temos os dois primeiros termos, vamos calcular o terceiro quando n=3:
Para n=3:
3^2 + 13 = 9 + 13 approx 9 + 0.333 = 9.333
Agora, somamos com os anteriores:
S3 = 2 + 4.5 + 9.333 = 15.833

Resposta

S1 = 2, S2 = 6.5 e S3 approx 15.833.

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