Calcule as integrais triplas abaixo, usando uma mudança de variáveis conveniente.
(a) , onde
Passo 1
Beleza, vamos ver o que a questão tá pedindo. A gente precisa calcular uma integral tripla de sobre uma região . A região é definida por um espaço dentro da esfera de raio 1 (), na parte de cima da esfera () e fora de um cilindro de raio (). Para resolver isso, vamos usar mudança de variáveis, provavelmente coordenadas esféricas, já que a região envolve uma esfera e um cilindro.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a região . Ela é a parte superior da esfera onde , mas fora do cilindro . Isso significa que estamos olhando para a parte da cúpula da esfera que está além de um cilindro vertical de raio .
Passo 3
Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas esféricas. Nas coordenadas esféricas, temos:
E o elemento de volume dV = rho^2 sin phi , drho , dphi , dtheta fica:
Passo 4
Agora, vamos identificar os limites de integração para , e .
Para : A esfera tem raio 1, então .
Para : Como a região é simétrica em torno do eixo z, .
Para : Precisamos encontrar os limites para que correspondem à restrição .
Passo 5
Vamos relacionar x^2 + y^2 = rho^2 sin^2 phi >= 14 com as coordenadas esféricas. Sabemos que:
sin phi >= 12rho
Isso implica:
sin phi >= 12
Como , temos:
Portanto, varia de a para satisfazer .
Passo 6
Agora podemos escrever a integral tripla em coordenadas esféricas:
integral triplaW z , dx , dy , dz = integral0^2pi integral0^pi6 integral12sin phi^1 (rho cos phi) rho^2 sin phi , drho , dphi , dtheta
Passo 7
Vamos simplificar a integral:
integral0^2pi dtheta times integral0^pi6 integral12sin phi^1 rho^3 cos phi sin phi , drho , dphi
Integrando em relação a integral12sin phi^1 rho^3 drho = [ rho^44 ]12sin phi^1 = 14 - 14 (2sin phi)^4 = 14 - 164 sin^4 phi :
Passo 8
A integral fica:
2pi integral0^pi6 ( 14 - 164 sin^4 phi ) cos phi sin phi , dphi
Vamos simplificar cada parte:
Para o primeiro termo:
14 integral0^pi6 cos phi sin phi , dphi
E para o segundo termo:
-164 integral0^pi6 cos phi sin phisin^4 phi , dphi = -164 integral0^pi6 cos phisin^3 phi , dphi
Passo 9
Calculando as integrais:
Para o primeiro termo:
14 integral cos phi sin phi , dphi = 18 sin^2 phi |0^pi6 = 18 ( 14 - 0 ) = 132
Para o segundo termo, fazemos a substituição -164 integral 1u^3 du = 1128 u^2 |0^pi6 = 1128 sin^2 ( pi6 ) = 1128 ( 12 )^2 = 132 , então :
Passo 10
Somando os dois resultados e multiplicando por 2pi ( 132 + 132 ) = 2pi times 232 = 2pi times 116 = pi8 :