Calcule as seguintes integrais triplas.
(f) , onde é o sólido limitado pela esfera de centro na origem e raio 2 .

Passo 1

Então, a gente tem um exercício onde precisamos calcular uma integral tripla sobre um sólido . Esse sólido é uma esfera com raio 2 e centrada na origem. A função que vamos integrar é . Para resolver isso, vamos usar conceitos de integração em coordenadas cartesianas e aproveitar a simetria da esfera para simplificar nossos cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que estamos integrando: . Notamos que cada termo é ímpar em relação à sua variável. Isso significa que, para cada ponto na esfera, existe um ponto , e assim por diante para as outras variáveis.

Passo 3

Devido à simetria da esfera, quando somamos a contribuição de para todos os pontos, os valores positivos e negativos se cancelam, resultando em zero. O mesmo vale para e . Portanto, a integral de cada termo sobre a esfera será zero.

Resposta

A integral tripla é igual a 0.

Exercícios relacionados

(3 pontos). Calcule
utilizando a mudança de variáveis definida no item 1.1.
Calcule as seguintes integrais triplas.
(e) , onde é limitado por , no primeiro octante.
Calcule as integrais triplas abaixo, usando uma mudança de variáveis conveniente.
(a) , onde
Calcule os limites
c)