Calcule as seguintes integrais triplas.
(f)
, onde
é o sólido limitado pela esfera de centro na origem e raio 2 .
(f)
Passo 1
Então, a gente tem um exercício onde precisamos calcular uma integral tripla sobre um sólido
. Esse sólido
é uma esfera com raio 2 e centrada na origem. A função que vamos integrar é
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de integração em coordenadas cartesianas e aproveitar a simetria da esfera para simplificar nossos cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função que estamos integrando:
. Notamos que cada termo é ímpar em relação à sua variável. Isso significa que, para cada ponto
na esfera, existe um ponto
, e assim por diante para as outras variáveis.
Passo 3
Devido à simetria da esfera, quando somamos a contribuição de
para todos os pontos, os valores positivos e negativos se cancelam, resultando em zero. O mesmo vale para
e
. Portanto, a integral de cada termo sobre a esfera será zero.
Resposta
A integral tripla
é igual a 0.
Exercícios relacionados
(3 pontos). Calcule
utilizando a mudança de variáveis definida no item 1.1.
Calcule as seguintes integrais triplas.
(e) , onde
é limitado por
, no primeiro octante.
(e)
Calcule as integrais triplas abaixo, usando uma mudança de variáveis conveniente.
(a) , onde
(a)
Calcule os limites
c)
c)