Calcule as integrais triplas abaixo, usando uma mudança de variáveis conveniente.
(d) integral triplaW(x^2+y^2) d x d y d z, onde W é a região limitada por 2 z=x^2+y^2 e z=2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral tripla de sobre uma região limitada por e . Estamos lidando com cálculo integral, especificamente integrais múltiplas. Para resolver isso de forma mais fácil, vamos usar coordenadas cilíndricas, que são perfeitas quando temos simetria circular, como é o caso aqui com .

Passo 2

Primeiro, vamos converter as equações da região para coordenadas cilíndricas. Lembrando que em coordenadas cilíndricas, , e . Então, .
A primeira equação fica , ou seja, .
A segunda equação é .
Isso nos mostra que varia de até .

Passo 3

Agora, vamos determinar os limites para r^22 = 2 implies r^2 = 4 implies r = 2 . Como vai de até , no ponto onde essas duas superfícies se encontram, temos:
Então, varia de até .

Passo 4

Para , como a região é circularmente simétrica, vai de até .

Passo 5

Agora, vamos reescrever a integral tripla em coordenadas cilíndricas. Lembrando que o elemento de volume integral0^2pi integral0^2 integralr^22^2 r^2 cdot r , dz , dr , dtheta = integral0^2pi integral0^2 integralr^22^2 r^3 , dz , dr , dtheta em coordenadas cilíndricas é . E nossa função vira .
Então, a integral fica:

Passo 6

Vamos resolver a integral em relação a integralr^22^2 r^3 , dz = r^3 [ z ]r^22^2 = r^3 (2 - r^22) = 2r^3 - r^52 primeiro:

Passo 7

Agora, a integral fica:
integral0^2pi integral0^2 (2r^3 - r^52) dr , dtheta
Vamos resolver a integral em relação a integral0^2 (2r^3 - r^52) dr = 2 cdot r^44 - 12 cdot r^66 gr|0^2 = 2 cdot 164 - 12 cdot 646 = 8 - 326 = 8 - 163 = 243 - 163 = 83 :

Passo 8

Finalmente, a integral em relação a integral0^2pi 83 , dtheta = 83 cdot 2pi = 16pi3 é:

Resposta

A integral tripla vale .

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