Calcule as integrais triplas abaixo, usando uma mudança de variáveis conveniente.
(d) , onde é a região limitada por e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral tripla de sobre uma região limitada por e . Estamos lidando com cálculo integral, especificamente integrais múltiplas. Para resolver isso de forma mais fácil, vamos usar coordenadas cilíndricas, que são perfeitas quando temos simetria circular, como é o caso aqui com .
Passo 2
Primeiro, vamos converter as equações da região para coordenadas cilíndricas. Lembrando que em coordenadas cilíndricas, , e . Então, .
A primeira equação fica , ou seja, .
A segunda equação é .
Isso nos mostra que varia de até .
Passo 3
Agora, vamos determinar os limites para . Como vai de até , no ponto onde essas duas superfícies se encontram, temos:
Então, varia de até .
Passo 4
Para , como a região é circularmente simétrica, vai de até .
Passo 5
Agora, vamos reescrever a integral tripla em coordenadas cilíndricas. Lembrando que o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é . E nossa função vira .
Então, a integral fica:
Passo 6
Vamos resolver a integral em relação a primeiro:
Passo 7
Agora, a integral fica:
Vamos resolver a integral em relação a :
Passo 8
Finalmente, a integral em relação a integral0^2pi 83 , dtheta = 83 cdot 2pi = 16pi3 é: