(3 pontos). Calcule
integral duplaD (ln y)^2x^2 y d A
utilizando a mudança de variáveis definida no item 1.1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral! A gente precisa calcular a integral dupla
integral duplaD (ln y)^2x^2 y , dA
usando uma mudança de variável que foi definida no item 1.1. Vamos usar conceitos de cálculo integral e mudança de variáveis para simplificar essa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa essa integral. Temos uma função que queremos integrar sobre uma região no plano . Para facilitar a integração, vamos fazer uma mudança de variáveis.

Passo 3

Vamos definir novas variáveis u = ln y e v = 1x e de acordo com a mudança de variáveis sugerida no item 1.1. Suponhamos que a mudança seja:
Isso significa que estamos substituindo por e por .

Passo 4

Agora, precisamos expressar y = e^u e x = 1v e em termos de e :
Também precisamos calcular as derivadas parciais para encontrar o jacobiano da transformação.

Passo 5

Calculando as derivadas parciais:
partial ypartial u = e^u, partial ypartial v = 0
partial xpartial u = 0, partial xpartial v = -1v^2
Agora, montamos a matriz jacobiana:
J = partial ypartial u & partial ypartial v partial xpartial u & partial xpartial v = e^u & 0 0 & -1v^2

Passo 6

O determinante do jacobiano |J| = e^u times (-1v^2) - 0 times 0 = -e^uv^2 é:
|J| = e^uv^2
Como estamos interessados no valor absoluto do jacobiano, temos:

Passo 7

Agora, substituímos na integral original:
integral duplaD (ln y)^2x^2 y , dA = integral duplaD' u^2(1v)^2 e^u times e^uv^2 , du , dv
Simplificando os termos:
u^2(1v)^2 e^u times e^uv^2 = u^2 v^2 times 1v^2 = u^2

Passo 8

Portanto, a integral simplifica para:
integral duplaD' u^2 , du , dv
Agora, precisamos conhecer os limites de integração na nova região para proceder com a integração. Sem essa informação, não podemos calcular um valor numérico específico.

Resposta

A integral dupla transforma-se em
integral duplaD' u^2 , du , dv
utilizando a mudança de variáveis definida. Para calcular o valor final, são necessários os limites de integração na região .

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