(3 pontos). Calcule
utilizando a mudança de variáveis definida no item 1.1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral! A gente precisa calcular a integral dupla
usando uma mudança de variável que foi definida no item 1.1. Vamos usar conceitos de cálculo integral e mudança de variáveis para simplificar essa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa essa integral. Temos uma função que queremos integrar sobre uma região no plano . Para facilitar a integração, vamos fazer uma mudança de variáveis.

Passo 3

Vamos definir novas variáveis e de acordo com a mudança de variáveis sugerida no item 1.1. Suponhamos que a mudança seja:
Isso significa que estamos substituindo por e por .

Passo 4

Agora, precisamos expressar e em termos de e :
Também precisamos calcular as derivadas parciais para encontrar o jacobiano da transformação.

Passo 5

Calculando as derivadas parciais:
Agora, montamos a matriz jacobiana:

Passo 6

O determinante do jacobiano é:
Como estamos interessados no valor absoluto do jacobiano, temos:

Passo 7

Agora, substituímos na integral original:
Simplificando os termos:

Passo 8

Portanto, a integral simplifica para:
Agora, precisamos conhecer os limites de integração na nova região para proceder com a integração. Sem essa informação, não podemos calcular um valor numérico específico.

Resposta

A integral dupla transforma-se em
utilizando a mudança de variáveis definida. Para calcular o valor final, são necessários os limites de integração na região .

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Calcule as seguintes integrais triplas.
(e) , onde é limitado por , no primeiro octante.
Calcule
O que seria preciso fazer para mudar o sinal de ?
Calcule as seguintes integrais triplas.
(f) , onde é o sólido limitado pela esfera de centro na origem e raio 2 .
Calcule as integrais triplas abaixo, usando uma mudança de variáveis conveniente.
(a) , onde