(3 pontos). Calcule
utilizando a mudança de variáveis definida no item 1.1.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral! A gente precisa calcular a integral dupla
usando uma mudança de variável que foi definida no item 1.1. Vamos usar conceitos de cálculo integral e mudança de variáveis para simplificar essa integral.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa essa integral. Temos uma função
que queremos integrar sobre uma região
no plano
. Para facilitar a integração, vamos fazer uma mudança de variáveis.
Passo 3
Vamos definir novas variáveis
e
de acordo com a mudança de variáveis sugerida no item 1.1. Suponhamos que a mudança seja:
Isso significa que estamos substituindo
por
e
por
.
Passo 4
Agora, precisamos expressar
e
em termos de
e
:
Também precisamos calcular as derivadas parciais para encontrar o jacobiano da transformação.
Passo 5
Calculando as derivadas parciais:
Agora, montamos a matriz jacobiana:
Passo 6
O determinante do jacobiano
é:
Como estamos interessados no valor absoluto do jacobiano, temos:
Passo 7
Agora, substituímos na integral original:
Simplificando os termos:
Passo 8
Portanto, a integral simplifica para:
Agora, precisamos conhecer os limites de integração na nova região
para proceder com a integração. Sem essa informação, não podemos calcular um valor numérico específico.
Resposta
A integral dupla transforma-se em
utilizando a mudança de variáveis definida. Para calcular o valor final, são necessários os limites de integração na região
.
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Calcule as seguintes integrais triplas.
(e) , onde
é limitado por
, no primeiro octante.
(e)
Calcule
O que seria preciso fazer para mudar o sinal de
?
Calcule as seguintes integrais triplas.
(f) , onde
é o sólido limitado pela esfera de centro na origem e raio 2 .
(f)
Calcule as integrais triplas abaixo, usando uma mudança de variáveis conveniente.
(a) , onde
(a)