Usando o critério de Sylvester determine se as funções abaixo possuem máximo local, mínimo local e pontos de sela:
(10.3) f(x, y, z) = -x^4 + y^2 * z^2 - x * y * z + x^2 + 2 * y^2 + z^2 + 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o Critério de Sylvester para descobrir se a função dada tem máximo local, mínimo local ou ponto de sela. A função que a gente vai analisar é:
Para fazer isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais, encontrar os pontos críticos e depois usar o Critério de Sylvester para analisar a natureza desses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Isso significa que a gente precisa calcular as derivadas parciais de em relação a , e , e igualá-las a zero.
As derivadas parciais são:
Vamos calcular cada uma:
Agora, igualamos cada derivada a zero para encontrar os pontos onde a inclinação da função é nula.

Passo 3

Vamos resolver o sistema de equações:
Esse sistema pode ser complicado de resolver diretamente, então vamos tentar encontrar soluções simplificadas. Observando as equações, podemos tentar assumir que para ver se isso simplifica as coisas.
Se , as equações ficam:
  1. ou
  2. → já sabemos que
Então, temos três pontos críticos quando :

Passo 4

Agora que encontramos os pontos críticos, vamos analisar cada um usando o Hessiano da função e aplicar o Critério de Sylvester. O Hessiano é uma matriz das segundas derivadas parciais da função.
Primeiro, calculamos as segundas derivadas:
Então, o Hessiano é:

[
H =


]
Vamos agora avaliar o Hessiano em cada ponto crítico.

Passo 5

Vamos analisar cada ponto crítico:
  1. Ponto
    Substituindo no Hessiano:

    [
    H =


    ]
    O Critério de Sylvester diz que, para ser positivo definido (indicando mínimo local), todos os menores principais devem ser positivos:
    Como todos são positivos, é um mínimo local.
  2. Ponto
    Substituindo no Hessiano:
    E as outras derivadas:
    Calculando os menores principais:
    Já que o primeiro menor é negativo, o ponto não é positivo definido. Vamos verificar a indefinição:
    O determinante total:
    Como o determinante é negativo, o ponto é um ponto de sela.
  3. Ponto
    O raciocínio é igual ao ponto anterior, porque é negado, mas permanece o mesmo. Portanto, o Hessiano será igual:
    E o determinante total também será:
    Portanto, esse ponto também é um ponto de sela.

Resposta

A função possui um mínimo local em e pontos de sela em e .

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