Usando o critério de Sylvester determine se as funções abaixo possuem máximo local, mínimo local e pontos de sela:
(10.3)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o Critério de Sylvester para descobrir se a função dada tem máximo local, mínimo local ou ponto de sela. A função que a gente vai analisar é:
Para fazer isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais, encontrar os pontos críticos e depois usar o Critério de Sylvester para analisar a natureza desses pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Isso significa que a gente precisa calcular as derivadas parciais de em relação a , e , e igualá-las a zero.
As derivadas parciais são:
Vamos calcular cada uma:
Agora, igualamos cada derivada a zero para encontrar os pontos onde a inclinação da função é nula.
Passo 3
Vamos resolver o sistema de equações:
Esse sistema pode ser complicado de resolver diretamente, então vamos tentar encontrar soluções simplificadas. Observando as equações, podemos tentar assumir que para ver se isso simplifica as coisas.
Se , as equações ficam:
→ → ou
→
→ já sabemos que
Então, temos três pontos críticos quando :
Passo 4
Agora que encontramos os pontos críticos, vamos analisar cada um usando o Hessiano da função e aplicar o Critério de Sylvester. O Hessiano é uma matriz das segundas derivadas parciais da função.
Primeiro, calculamos as segundas derivadas:
Então, o Hessiano é:
[
H =
]
Vamos agora avaliar o Hessiano em cada ponto crítico.
Passo 5
Vamos analisar cada ponto crítico:
Ponto
Substituindo no Hessiano:
[
H =
]
O Critério de Sylvester diz que, para ser positivo definido (indicando mínimo local), todos os menores principais devem ser positivos:
Como todos são positivos, é um mínimo local.
Ponto
Substituindo no Hessiano:
E as outras derivadas:
Calculando os menores principais:
Já que o primeiro menor é negativo, o ponto não é positivo definido. Vamos verificar a indefinição:
O determinante total:
Como o determinante é negativo, o ponto é um ponto de sela.
Ponto
O raciocínio é igual ao ponto anterior, porque é negado, mas permanece o mesmo. Portanto, o Hessiano será igual:
E o determinante total também será:
Portanto, esse ponto também é um ponto de sela.
Resposta
A função possui um mínimo local em e pontos de sela em e .