Calcule as integrais triplas: integral triplaB x y d x d y d z, onde B=(x, y, z) in R^3 ;-2 <= x <= 2,0 <= y <= 4,0 <= z <= 4-x^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla integral triplaB x y , dx, dy, dz, onde a região B está definida por -2 <= x <= 2, 0 <= y <= 4 e 0 <= z <= 4 - x^2. Vamos usar cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrais triplas, e entender os limites de integração para cada variável.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de integração. Para x, vai de -2 a 2. Para cada valor de x, y varia de 0 a 4. E para cada par (x, y), z varia de 0 a 4 - x^2. Então, a integral fica organizada assim:
integralx=-2^2 integraly=0^4 integralz=0^4 - x^2 x y , dz, dy, dx

Passo 3

Vamos integrar em relação a z primeiro. Como a função x y não depende de z, a integral em z é simples:
integral0^4 - x^2 x y , dz = x y cdot z gr|0^4 - x^2 = x y (4 - x^2) - x y (0) = x y (4 - x^2)
Agora, a integral reduz para:
integral-2^2 integral0^4 x y (4 - x^2) , dy, dx

Passo 4

Seguimos integrando em relação a y. A expressão x (4 - x^2) é constante em relação a y, então temos:
integral0^4 x y (4 - x^2) , dy = x (4 - x^2) integral0^4 y , dy = x (4 - x^2) [ y^22 ]0^4 = x (4 - x^2) cdot 162 = 8 x (4 - x^2)
Agora, a integral fica:
integral-2^2 8 x (4 - x^2) , dx

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
8 x (4 - x^2) = 32 x - 8 x^3
Então, a integral fica:
integral-2^2 (32 x - 8 x^3) , dx = 32 integral-2^2 x , dx - 8 integral-2^2 x^3 , dx

Passo 6

Agora, vamos calcular cada integral separadamente.
Primeiro, integral-2^2 x , dx:
Sabemos que a função x é ímpar, ou seja, f(-x) = -f(x). Quando integramos uma função ímpar simétrica em torno de zero, o resultado é zero.
Então, integral-2^2 x , dx = 0.
Segundo, integral-2^2 x^3 , dx:
A função x^3 também é ímpar, então a integral de -2 a 2 também é zero.
Então, integral-2^2 x^3 , dx = 0.

Resposta

Após calcular, a integral tripla vale 0.

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