Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla , onde a região está definida por , e . Vamos usar cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrais triplas, e entender os limites de integração para cada variável.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites de integração. Para , vai de a . Para cada valor de , varia de a . E para cada par , varia de a . Então, a integral fica organizada assim:
Passo 3
Vamos integrar em relação a primeiro. Como a função não depende de , a integral em é simples:
Agora, a integral reduz para:
integral-2^2 integral0^4 x y (4 - x^2) , dy, dx
Passo 4
Seguimos integrando em relação a y. A expressão x (4 - x^2) é constante em relação a y, então temos:
integral0^4 x y (4 - x^2) , dy = x (4 - x^2) integral0^4 y , dy = x (4 - x^2) [ y^22 ]0^4 = x (4 - x^2) cdot 162 = 8 x (4 - x^2)
Agora, a integral fica:
integral-2^2 8 x (4 - x^2) , dx
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
8 x (4 - x^2) = 32 x - 8 x^3
Então, a integral fica:
integral-2^2 (32 x - 8 x^3) , dx = 32 integral-2^2 x , dx - 8 integral-2^2 x^3 , dx
Passo 6
Agora, vamos calcular cada integral separadamente.
Primeiro, integral-2^2 x , dx:
Sabemos que a função x é ímpar, ou seja, f(-x) = -f(x). Quando integramos uma função ímpar simétrica em torno de zero, o resultado é zero.
Então, integral-2^2 x , dx = 0.
Segundo, integral-2^2 x^3 , dx:
A função x^3 também é ímpar, então a integral de -2 a 2 também é zero.