Calcule as integrais triplas: integral triplaB x^2+3 y+2 z d x d y d z, onde B é o paralelepípedo 0 <= x <= 2,0 <= y <= 1 e 1 <= z <= 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla juntos! O enunciado pede para calcular a integral de sobre o paralelepípedo definido por , e . Isso faz parte da matéria de Cálculo Multivariável, onde aprendemos a integrar funções de três variáveis sobre regiões específicas. Para resolver, vamos integrar cada termo da função dentro dos limites dados para , e .

Passo 2

Primeiro, vamos separar a integral em três partes, uma para cada termo da função:
integral triplaB x^2 + 3y + 2z , dx , dy , dz = integral triplaB x^2 , dx , dy , dz + integral triplaB 3y , dx , dy , dz + integral triplaB 2z , dx , dy , dz
Isso facilita a computação, pois podemos integrar cada termo separadamente.

Passo 3

Vamos calcular a primeira integral: integral1^2 dz integral0^1 dy integral0^2 x^2 , dx .
Como as variáveis são independentes, a integral pode ser separada:
integral0^2 x^2 , dx = [ x^33 ]0^2 = 83
Primeiro, integramos de 0 a 2:

Passo 4

Agora, integramos em relação a integral0^1 dy = 1 de 0 a 1:
integral1^2 dz = 1
E depois em relação a 83 times 1 times 1 = 83 de 1 a 2:
Multiplicando tudo:

Passo 5

Vamos para a segunda integral: 3 integral1^2 dz integral0^1 y , dy integral0^2 dx .
Novamente, separamos as integrais:
integral0^2 dx = 2
Primeiro, integramos de 0 a 2:

Passo 6

Em seguida, integramos integral0^1 y , dy = [ y^22 ]0^1 = 12 de 0 a 1:
integral1^2 dz = 1
E depois 3 times 2 times 12 times 1 = 3 de 1 a 2:
Multiplicando tudo:

Passo 7

Por último, calculamos a terceira integral: 2 integral1^2 z , dz integral0^1 dy integral0^2 dx .
Separando as integrais:
integral0^2 dx = 2
Primeiro, integramos de 0 a 2:

Passo 8

Depois, integramos integral0^1 dy = 1 de 0 a 1:
integral1^2 z , dz = [ z^22 ]1^2 = 42 - 12 = 32
E finalmente, integramos 2 times 32 times 1 times 2 = 6 de 1 a 2:
Multiplicando tudo:

Resposta

Somando todas as integrais:
83 + 3 + 6 = 83 + 93 + 183 = 353
Portanto, a integral tripla é igual a .

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