Calcule as integrais triplas:
, onde
é o paralelepípedo
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral tripla juntos! O enunciado pede para calcular a integral de
sobre o paralelepípedo
definido por
,
e
. Isso faz parte da matéria de Cálculo Multivariável, onde aprendemos a integrar funções de três variáveis sobre regiões específicas. Para resolver, vamos integrar cada termo da função dentro dos limites dados para
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a integral em três partes, uma para cada termo da função:
Isso facilita a computação, pois podemos integrar cada termo separadamente.
Passo 3
Vamos calcular a primeira integral:
.
Como as variáveis são independentes, a integral pode ser separada:
Primeiro, integramos
de 0 a 2:
Passo 4
Agora, integramos em relação a
de 0 a 1:
E depois em relação a
de 1 a 2:
Multiplicando tudo:
Passo 5
Vamos para a segunda integral:
.
Novamente, separamos as integrais:
Primeiro, integramos
de 0 a 2:
Passo 6
Em seguida, integramos
de 0 a 1:
E depois
de 1 a 2:
Multiplicando tudo:
Passo 7
Por último, calculamos a terceira integral:
.
Separando as integrais:
Primeiro, integramos
de 0 a 2:
Passo 8
Depois, integramos
de 0 a 1:
E finalmente, integramos
de 1 a 2:
Multiplicando tudo:
Resposta
Somando todas as integrais:
Portanto, a integral tripla é igual a
.
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, onde
é o paralelepípedo
e
.
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.