Calcule as integrais triplas: integral triplaB x+y+z d x d y d z, onde B é o paralelepípedo 0 <= x <= 2,0 <= y <= 1 e 1 <= z <= 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de integrais triplas. A gente precisa calcular a integral de sobre o paralelepípedo definido por , e . Para isso, vamos usar o conceito de integrais múltiplas, que nos permite calcular volumes e outras grandezas em regiões tridimensionais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral tripla. Imagine que a gente quer somar todos os pequenos pedaços de volume dentro do paralelepípedo multiplicados pela função . Isso é exatamente o que a integral tripla faz.

Passo 3

Vamos começar integrando com relação a integral0^2 (x + y + z) , dx . A gente vai fixar e e integrar de 0 a 2:

Passo 4

Integrando termo a termo:
integral0^2 x , dx + integral0^2 y , dx + integral0^2 z , dx
  • 2 + 2y + 2z
Então, a integral em fica:

Passo 5

Agora, vamos integrar com relação a integral0^1 (2 + 2y + 2z) , dy , de 0 a 1, usando o resultado anterior:
2y + y^2 + 2z y g|0^1 = 2(1) + (1)^2 + 2z(1) - 0 = 2 + 1 + 2z = 3 + 2z
Integrando termo a termo:

Passo 6

Por último, vamos integrar com relação a integral1^2 (3 + 2z) , dz , de 1 a 2:
3z + z^2 g|1^2 = 3(2) + (2)^2 - [3(1) + (1)^2] = 6 + 4 - 3 - 1 = 6
Integrando termo a termo:

Resposta

O valor da integral tripla é 6.

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