Calcule as integrais triplas: , onde é o paralelepípedo e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de integrais triplas. A gente precisa calcular a integral de sobre o paralelepípedo definido por , e . Para isso, vamos usar o conceito de integrais múltiplas, que nos permite calcular volumes e outras grandezas em regiões tridimensionais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma integral tripla. Imagine que a gente quer somar todos os pequenos pedaços de volume dentro do paralelepípedo multiplicados pela função . Isso é exatamente o que a integral tripla faz.
Passo 3
Vamos começar integrando com relação a . A gente vai fixar e e integrar de 0 a 2:
Passo 4
Integrando termo a termo:
Então, a integral em fica:
Passo 5
Agora, vamos integrar com relação a , de 0 a 1, usando o resultado anterior:
Integrando termo a termo:
Passo 6
Por último, vamos integrar com relação a integral1^2 (3 + 2z) , dz , de 1 a 2: