Calcule as integrais triplas: integral triplaB x y z^2 d x d y d z, onde B é o paralelepípedo 0 <= x <= 2,0 <= y <= 1 e 1 <= z <= 2.

Passo 1

Vamos resolver a integral tripla integral triplaB x y z^2 ,dx,dy,dz. O enunciado nos dá o paralelepípedo B definido por 0 <= x <= 2, 0 <= y <= 1 e 1 <= z <= 2. Vamos precisar usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais múltiplas, para calcular essa expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral tripla. Ela nos permite calcular o volume sob uma função de três variáveis dentro de uma região específica. Neste caso, a função é f(x, y, z) = x y z^2 e a região B é o paralelepípedo dado.

Passo 3

Vamos configurar a integral tripla seguindo os limites de integração fornecidos:
integral triplaB x y z^2 ,dx,dy,dz = integralz=1^2 integraly=0^1 integralx=0^2 x y z^2 ,dx,dy,dz
Aqui, começamos integrando em relação a x, depois y e por último z.

Passo 4

Primeiro, integramos em relação a x:
integralx=0^2 x y z^2 ,dx
Como y e z são constantes em relação a x, podemos tratar y z^2 como constantes:
y z^2 integral0^2 x ,dx = y z^2 [ x^22 ]0^2 = y z^2 ( 42 - 0 ) = 2 y z^2

Passo 5

Agora, substituímos o resultado na integral e integramos em relação a y:
integraly=0^1 2 y z^2 ,dy = 2 z^2 integral0^1 y ,dy = 2 z^2 [ y^22 ]0^1 = 2 z^2 ( 12 - 0 ) = z^2

Passo 6

Por fim, integramos em relação a z:
integralz=1^2 z^2 ,dz = [ z^33 ]1^2 = 83 - 13 = 73

Resposta

O valor da integral tripla é 73.

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