Calcule as integrais triplas: integral triplaB x+raizy d x d y d z, onde B é o paralelepípedo 0 <= x <= 2,0 <= y <= 1 e 1 <= z <= 2.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral tripla de sobre o paralelepípedo definido por , e . Isso envolve conhecimentos de cálculo multivariável, especificamente integrais múltiplas. Para resolver, vamos precisar estabelecer os limites de integração para cada variável e integrar passo a passo.

Passo 2

Como o paralelepípedo é definido por intervalos para cada variável, podemos escrever a integral tripla como um produto de integrais iteradas. A função a ser integrada é integralz=1^2 integraly=0^1 integralx=0^2 (x + raizy) , dx , dy , dz . Portanto, a integral tripla será:

Passo 3

Primeiro, vamos integrar em relação a integral0^2 (x + raizy) , dx = [ x^22 + raizy cdot x ]0^2 = ( 2^22 + raizy cdot 2 ) - ( 0 + 0 ) = 2 + 2raizy . A integral de em relação a de 0 a 2 é:

Passo 4

Agora, temos uma integral dupla em integral0^1 (2 + 2raizy) , dy = integral0^1 2 , dy + integral0^1 2raizy , dy e 2 integral0^1 dy = 2y |0^1 = 2(1) - 2(0) = 2 . Vamos integrar a expressão 2 integral0^1 raizy , dy = 2 cdot ( 23 y^3/2 ) |0^1 = 43 (1) - 0 = 43 em relação a 2 + 43 = 103 de 0 a 1:
Integrando cada termo:
e
Portanto, a integral em dá:

Passo 5

Finalmente, vamos integrar esse resultado em relação a integral1^2 103 , dz = 103 cdot (2 - 1) = 103 cdot 1 = 103 de 1 a 2:

Resposta

O valor da integral tripla é .

Exercícios relacionados

Calcule as integrais triplas: integral triplaB x^2+3 y+2 z d x d y d z, onde B é o paralelepípedo 0 <= x <= 2,0 <= y <= 1 e 1 <= z <= 2.
Calcule as integrais triplas: integral triplaB x+y+z d x d y d z, onde B é o paralelepípedo 0 <= x <= 2,0 <= y <= 1 e 1 <= z <= 2.
Calcule as integrais triplas: integral triplaB x y d x d y d z, onde B=(x, y, z) in R^3 ;-2 <= x <= 2,0 <= y <= 4,0 <= z <= 4-x^2.
Encontre os pontos máximos e mínimos (quando existirem) das funções a seguir:
f(x) = x^2 + 2x - 1