Calcule as integrais triplas:
, onde
, e
.
Passo 1
Ok, vamos lá! Temos que calcular a integral tripla de
, onde
é a região definida por
,
e
.
Vamos usar o cálculo de integrais triplas, que é uma forma de somar valores em uma região tridimensional. Precisamos definir os limites de integração para cada variável e depois integrar passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites de cada variável:
-
varia de 0 a 4. -
varia de -2 a 2. -
varia de a .
Isso nos dá uma caixa retangular para
e
, e os limites de
dependem de
.
Passo 3
A integral tripla pode ser escrita da seguinte forma:
Vamos começar integrando em relação a
.
Passo 4
Integrando
em relação a
:
Simplificando dentro dos parênteses:
Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, a integral dupla fica:
Vamos integrar em relação a
. Primeiro, vamos separar os termos:
Passo 6
Calculando a integral de
de -2 a 2:
Isso significa que toda a expressão se anula:
Passo 7
Agora, a integral em relação a
fica:
Resposta
A integral tripla calculada é igual a 0.