Calcule as integrais triplas: integral triplaB x-1 d x d y d z, onde B=(x, y, z) in R^3 ; 0 <= x <= 4,-2 <= y <= 2, e y+8 <= z <= 8-y.

Passo 1

Ok, vamos lá! Temos que calcular a integral tripla de , onde é a região definida por , e .
Vamos usar o cálculo de integrais triplas, que é uma forma de somar valores em uma região tridimensional. Precisamos definir os limites de integração para cada variável e depois integrar passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de cada variável:
  • varia de 0 a 4.
  • varia de -2 a 2.
  • varia de a .
Isso nos dá uma caixa retangular para e , e os limites de dependem de .

Passo 3

A integral tripla pode ser escrita da seguinte forma:
integralx=0^4 integraly=-2^2 integralz=y+8^8-y (x - 1) , dz , dy , dx
Vamos começar integrando em relação a .

Passo 4

Integrando integralz=y+8^8-y (x - 1) , dz = (x - 1) cdot [ z ]y+8^8-y = (x - 1) cdot ( (8 - y) - (y + 8) ) em relação a (8 - y) - (y + 8) = 8 - y - y - 8 = -2y :
(x - 1) cdot (-2y) = -2y(x - 1)
Simplificando dentro dos parênteses:
Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, a integral dupla fica:
integralx=0^4 integraly=-2^2 -2y(x - 1) , dy , dx
Vamos integrar em relação a -2(x - 1) integraly=-2^2 y , dy . Primeiro, vamos separar os termos:

Passo 6

Calculando a integral de integral-2^2 y , dy = [ y^22 ]-2^2 = (2)^22 - (-2)^22 = 42 - 42 = 2 - 2 = 0 de -2 a 2:
-2(x - 1) cdot 0 = 0
Isso significa que toda a expressão se anula:

Passo 7

Agora, a integral em relação a integral0^4 0 , dx = 0 fica:

Resposta

A integral tripla calculada é igual a 0.

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