Calcule: , onde é o conjunto dos pontos tais que e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para calcular a integral tripla de sobre a região , onde é o conjunto de pontos que satisfazem e . Isso significa que estamos trabalhando com cálculo multivariável, especificamente integrais triplas. Para resolver, vamos usar coordenadas cilíndricas, que facilitam bastante esse tipo de região.

Passo 2

Primeiro, vamos entender por que coordenadas cilíndricas são úteis aqui. Em coordenadas cartesianas, a condição descreve um círculo no plano com raio 2. Nas coordenadas cilíndricas, isso se traduz em , onde é a distância radial do ponto à origem. Além disso, varia de 0 a 2, então nossos limites para são diretos.

Passo 3

Vamos então converter a função para coordenadas cilíndricas. Sabemos que , então a função fica . Também precisamos lembrar do elemento de volume em coordenadas cilíndricas, que é .

Passo 4

Agora, definimos os limites de integração:
  • varia de 0 a 2 (raio do círculo).
  • varia de 0 a (uma volta completa ao redor do círculo).
  • varia de 0 a 2 (altura dada no problema).
Então, a integral tripla fica:

Passo 5

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integrando em relação a :
Agora, multiplicamos por e integramos em relação a :
Por fim, integramos em relação a :

Resposta

O valor da integral tripla é .

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