Calcule: , onde é o conjunto dos pontos tais que e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para calcular a integral tripla de sobre a região , onde é o conjunto de pontos que satisfazem e . Isso significa que estamos trabalhando com cálculo multivariável, especificamente integrais triplas. Para resolver, vamos usar coordenadas cilíndricas, que facilitam bastante esse tipo de região.
Passo 2
Primeiro, vamos entender por que coordenadas cilíndricas são úteis aqui. Em coordenadas cartesianas, a condição descreve um círculo no plano com raio 2. Nas coordenadas cilíndricas, isso se traduz em , onde é a distância radial do ponto à origem. Além disso, varia de 0 a 2, então nossos limites para são diretos.
Passo 3
Vamos então converter a função para coordenadas cilíndricas. Sabemos que , então a função fica . Também precisamos lembrar do elemento de volume em coordenadas cilíndricas, que é .
Passo 4
Agora, definimos os limites de integração:
varia de 0 a 2 (raio do círculo).
varia de 0 a (uma volta completa ao redor do círculo).
varia de 0 a 2 (altura dada no problema).
Então, a integral tripla fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integrando em relação a :
Agora, multiplicamos por e integramos em relação a :