Calcule: integral triplaB x^2+y^2+z^2 d x d y d z, onde B é o conjunto dos pontos (x, y, z) tais que x^2+y^2 <= 4 e 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para calcular a integral tripla de sobre a região , onde é o conjunto de pontos que satisfazem e . Isso significa que estamos trabalhando com cálculo multivariável, especificamente integrais triplas. Para resolver, vamos usar coordenadas cilíndricas, que facilitam bastante esse tipo de região.

Passo 2

Primeiro, vamos entender por que coordenadas cilíndricas são úteis aqui. Em coordenadas cartesianas, a condição descreve um círculo no plano com raio 2. Nas coordenadas cilíndricas, isso se traduz em , onde é a distância radial do ponto à origem. Além disso, varia de 0 a 2, então nossos limites para são diretos.

Passo 3

Vamos então converter a função para coordenadas cilíndricas. Sabemos que , então a função fica . Também precisamos lembrar do elemento de volume em coordenadas cilíndricas, que é .

Passo 4

Agora, definimos os limites de integração:
  • integral0^2pi integral0^2 integral0^2 ( r^2 + z^2 ) r , dz , dr , dtheta varia de 0 a 2 (raio do círculo).
  • varia de 0 a (uma volta completa ao redor do círculo).
  • varia de 0 a 2 (altura dada no problema).
Então, a integral tripla fica:

Passo 5

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integrando em relação a integral0^2 ( r^2 + z^2 ) dz = r^2z + z^33 |0^2 = 2r^2 + 83 :
integral0^2 ( 2r^3 + 83 r ) dr = 2r^44 + 8r^26 |0^2 = 164 + 326 = 4 + 163 = 283
Agora, multiplicamos por integral0^2pi 283 dtheta = 283 times 2pi = 56pi3 e integramos em relação a :
Por fim, integramos em relação a :

Resposta

O valor da integral tripla é .

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