Calcule:
, onde
é o conjunto dos pontos
tais que
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral tripla
, onde
é o conjunto de pontos
que satisfazem duas condições:
-
— isso descreve uma elipsoide. -
— essa desigualdade limita a região de integração.
Vamos precisar entender como essas duas condições interagem para definir o volume que vamos calcular.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a primeira desigualdade:
. Essa é a equação padrão de uma elipsoide centrada na origem. Em coordenadas cartesianas, uma elipsoide tem a forma:
Comparando com a nossa equação, vemos que
,
, e
. Isso significa que a elipsoide se estende de
a
no eixo
, e de
a
nos eixos
e
.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a segunda condição:
. Essa desigualdade define uma superfície onde
está limitado por uma função que depende de
e
. Vamos reescrever essa condição para facilitar:
Isso representa um cone com vértice na origem e que se abre para cima.
Passo 4
Precisamos encontrar a região
que satisfaz ambas as condições. Ou seja, o volume que está dentro da elipsoide e abaixo do cone. Vamos visualizar isso: dentro da elipsoide, o cone divide o espaço em duas partes, e estamos interessados na parte onde
está abaixo desse cone.
Passo 5
Para calcular a integral tripla, vamos mudar para coordenadas cilíndricas, já que temos simetria em relação ao eixo
e a equação do cone fica mais simples. Em coordenadas cilíndricas, temos:
E o elemento de volume se transforma em
.
Passo 6
Vamos reescrever as desigualdades em coordenadas cilíndricas. A elipsoide fica:
E o cone fica:
Passo 7
Vamos simplificar a equação da elipsoide:
Fatorando
:
Isso nos dará os limites para
,
e
.
Passo 8
Vamos determinar os limites de integração:
-
varia de a (cobrindo todo o círculo). - Para cada
, vai de até o valor que satisfaz a equação da elipsoide. - Para cada
, vai de até (mas como estamos interessados em , o limite superior é esse).
Passo 9
Simplificando os limites para
, já que estamos trabalhando com coordenadas cilíndricas:
No entanto, como a região
está abaixo do cone, consideramos apenas os valores de
dentro desses limites.
Passo 10
Finalmente, montamos a integral tripla em coordenadas cilíndricas:
Aqui, o limite superior para
foi simplificado considerando a interseção das duas superfícies.
Resposta
Após calcular a integral tripla, o volume da região
é: