Calcule: integral triplaB d x d y d z, onde B é o conjunto dos pontos (x, y, z) tais que x^24+y^2+z^2 <= 16 e z <= raizx^24+y^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral tripla integral triplaB dx dy dz, onde B é o conjunto de pontos (x, y, z) que satisfazem duas condições:
  1. x^24 + y^2 + z^2 <= 16 — isso descreve uma elipsoide.
  2. z <= raizx^24 + y^2 — essa desigualdade limita a região de integração.
Vamos precisar entender como essas duas condições interagem para definir o volume que vamos calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a primeira desigualdade: x^24 + y^2 + z^2 <= 16. Essa é a equação padrão de uma elipsoide centrada na origem. Em coordenadas cartesianas, uma elipsoide tem a forma:
x^2a^2 + y^2b^2 + z^2c^2 <= 1
Comparando com a nossa equação, vemos que a = 8, b = 4, e c = 4. Isso significa que a elipsoide se estende de -8 a 8 no eixo x, e de -4 a 4 nos eixos y e z.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a segunda condição: z <= raizx^24 + y^2. Essa desigualdade define uma superfície onde z está limitado por uma função que depende de x e y. Vamos reescrever essa condição para facilitar:
z^2 <= x^24 + y^2
Isso representa um cone com vértice na origem e que se abre para cima.

Passo 4

Precisamos encontrar a região B que satisfaz ambas as condições. Ou seja, o volume que está dentro da elipsoide e abaixo do cone. Vamos visualizar isso: dentro da elipsoide, o cone divide o espaço em duas partes, e estamos interessados na parte onde z está abaixo desse cone.

Passo 5

Para calcular a integral tripla, vamos mudar para coordenadas cilíndricas, já que temos simetria em relação ao eixo z e a equação do cone fica mais simples. Em coordenadas cilíndricas, temos:
x = r cos theta y = r sin theta z = z
E o elemento de volume se transforma em dV = r , dr , dtheta , dz.

Passo 6

Vamos reescrever as desigualdades em coordenadas cilíndricas. A elipsoide fica:
(r cos theta)^24 + r^2 sin^2 theta + z^2 <= 16 Rightarrow r^2 cos^2 theta4 + r^2 sin^2 theta + z^2 <= 16
E o cone fica:
z <= r

Passo 7

Vamos simplificar a equação da elipsoide:
r^2 cos^2 theta4 + r^2 sin^2 theta = r^2 ( cos^2 theta4 + sin^2 theta )
Fatorando r^2:
r^2 ( cos^2 theta4 + sin^2 theta ) + z^2 <= 16
Isso nos dará os limites para r, theta e z.

Passo 8

Vamos determinar os limites de integração:
  • theta varia de 0 a 2pi (cobrindo todo o círculo).
  • Para cada theta, r vai de 0 até o valor que satisfaz a equação da elipsoide.
  • Para cada r, z vai de -raiz16 - r^2 cos^2 theta4 - r^2 sin^2 theta até raizr^2 cos^2 theta4 + r^2 sin^2 theta (mas como estamos interessados em z <= raizr^2 cos^2 theta4 + r^2 sin^2 theta, o limite superior é esse).

Passo 9

Simplificando os limites para z, já que estamos trabalhando com coordenadas cilíndricas:
-raiz16 - ( r^2 cos^2 theta4 + r^2 sin^2 theta ) <= z <= raizr^2 cos^2 theta4 + r^2 sin^2 theta
No entanto, como a região B está abaixo do cone, consideramos apenas os valores de z dentro desses limites.

Passo 10

Finalmente, montamos a integral tripla em coordenadas cilíndricas:
integral triplaB dx , dy , dz = integral0^2pi integral0^4 integral-raiz16 - r^2^raizr^2 r , dz , dr , dtheta
Aqui, o limite superior para r foi simplificado considerando a interseção das duas superfícies.

Resposta

Após calcular a integral tripla, o volume da região B é:
V = 2563 pi

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