Calcule: , onde é o conjunto dos pontos tais que e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral tripla , onde é o conjunto de pontos que satisfazem duas condições:
1. — isso descreve uma **elipsoide**.
2. — essa desigualdade limita a região de integração.
Vamos precisar entender como essas duas condições interagem para definir o volume que vamos calcular.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a primeira desigualdade: . Essa é a equação padrão de uma elipsoide centrada na origem. Em coordenadas cartesianas, uma elipsoide tem a forma:
Comparando com a nossa equação, vemos que , , e . Isso significa que a elipsoide se estende de a no eixo , e de a nos eixos e .
Passo 3
Agora, vamos olhar para a segunda condição: . Essa desigualdade define uma superfície onde está limitado por uma função que depende de e . Vamos reescrever essa condição para facilitar:
Isso representa um **cone** com vértice na origem e que se abre para cima.
Passo 4
Precisamos encontrar a região que satisfaz ambas as condições. Ou seja, o volume que está dentro da elipsoide e abaixo do cone. Vamos visualizar isso: dentro da elipsoide, o cone divide o espaço em duas partes, e estamos interessados na parte onde está abaixo desse cone.
Passo 5
Para calcular a integral tripla, vamos mudar para **coordenadas cilíndricas**, já que temos simetria em relação ao eixo e a equação do cone fica mais simples. Em coordenadas cilíndricas, temos:
E o elemento de volume se transforma em .
Passo 6
Vamos reescrever as desigualdades em coordenadas cilíndricas. A elipsoide fica:
E o cone fica:
Passo 7
Vamos simplificar a equação da elipsoide:
Fatorando :
Isso nos dará os limites para , e .
Passo 8
Vamos determinar os limites de integração:
- varia de a (cobrindo todo o círculo).
- Para cada , vai de até o valor que satisfaz a equação da elipsoide.
- Para cada , vai de até (mas como estamos interessados em , o limite superior é esse).
Passo 9
Simplificando os limites para , já que estamos trabalhando com coordenadas cilíndricas:
No entanto, como a região está abaixo do cone, consideramos apenas os valores de dentro desses limites.
Passo 10
Finalmente, montamos a integral tripla em coordenadas cilíndricas:
Aqui, o limite superior para foi simplificado considerando a interseção das duas superfícies.
Resposta
Após calcular a integral tripla, o volume da região é:
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Calcule: , onde é o conjunto dos pontos tais que e $0
Calcule as integrais triplas: , onde , e .
Expresse o número racional como uma razão de inteiros:
(b) .