Calcule: , onde é o conjunto dos pontos tais que e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral tripla , onde é o conjunto de pontos que satisfazem duas condições: 1. — isso descreve uma **elipsoide**. 2. — essa desigualdade limita a região de integração. Vamos precisar entender como essas duas condições interagem para definir o volume que vamos calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a primeira desigualdade: . Essa é a equação padrão de uma elipsoide centrada na origem. Em coordenadas cartesianas, uma elipsoide tem a forma: Comparando com a nossa equação, vemos que , , e . Isso significa que a elipsoide se estende de a no eixo , e de a nos eixos e .

Passo 3

Agora, vamos olhar para a segunda condição: . Essa desigualdade define uma superfície onde está limitado por uma função que depende de e . Vamos reescrever essa condição para facilitar: Isso representa um **cone** com vértice na origem e que se abre para cima.

Passo 4

Precisamos encontrar a região que satisfaz ambas as condições. Ou seja, o volume que está dentro da elipsoide e abaixo do cone. Vamos visualizar isso: dentro da elipsoide, o cone divide o espaço em duas partes, e estamos interessados na parte onde está abaixo desse cone.

Passo 5

Para calcular a integral tripla, vamos mudar para **coordenadas cilíndricas**, já que temos simetria em relação ao eixo e a equação do cone fica mais simples. Em coordenadas cilíndricas, temos: E o elemento de volume se transforma em .

Passo 6

Vamos reescrever as desigualdades em coordenadas cilíndricas. A elipsoide fica: E o cone fica:

Passo 7

Vamos simplificar a equação da elipsoide: Fatorando : Isso nos dará os limites para , e .

Passo 8

Vamos determinar os limites de integração: - varia de a (cobrindo todo o círculo). - Para cada , vai de até o valor que satisfaz a equação da elipsoide. - Para cada , vai de até (mas como estamos interessados em , o limite superior é esse).

Passo 9

Simplificando os limites para , já que estamos trabalhando com coordenadas cilíndricas: No entanto, como a região está abaixo do cone, consideramos apenas os valores de dentro desses limites.

Passo 10

Finalmente, montamos a integral tripla em coordenadas cilíndricas: Aqui, o limite superior para foi simplificado considerando a interseção das duas superfícies.

Resposta

Após calcular a integral tripla, o volume da região é:

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Expresse o número racional como uma razão de inteiros: (b) .