Calcule:
, onde
é o conjunto dos pontos
tais que
e
.
Passo 1
Vamos resolver o integral triplo
, onde
é o conjunto de pontos
que satisfazem
e
.
Conteúdo da matéria: Cálculo de integrais triplos em coordenadas esféricas.
O que vamos precisar:
- Entender como converter coordenadas cartesianas para esféricas.
- Saber definir os limites de integração em coordenadas esféricas.
- Aplicar a fórmula do Jacobiano para a mudança de coordenadas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a região
. A condição
descreve uma esfera de raio
centrada na origem. A segunda condição
define a região abaixo do cone
.
Teoria aplicada: Em coordenadas esféricas, é mais fácil descrever regiões com simetria esférica ou cônica. As coordenadas esféricas são dadas por:
onde
rho é a distância até a origem,
phi é o ângulo polar (entre o eixo
z e o vetor posição) e
theta é o ângulo azimutal (no plano
xy ).
Passo 3
Vamos converter as condições da região
B para coordenadas esféricas.
- A esfera
se transforma emx^2+y^2+z^2 <= 16 .rho <= 4 - O cone
pode ser reescrito comoz = raizx^2+y^2 , o que simplifica pararho cos phi = rho sin phi , ou seja,tan phi = 1 .phi = pi4
Portanto, a região
B em coordenadas esféricas é definida por:
Teoria aplicada: Identificar os limites de integração é essencial para configurar o integral triplo corretamente.
Passo 4
Agora, expressamos o integrando
z em coordenadas esféricas. Sabemos que:
E o elemento de volume em coordenadas esféricas é:
Então, o integral fica:
Passo 5
Vamos simplificar o integrando:
Portanto, o integral se torna:
Passo 6
Vamos resolver cada integral separadamente.
- Integral em
:rho
- Integral em
:phi
Vamos fazer uma substituição: seja
u = sin phi , então
du = cos phi , dphi . Assim,
Avaliada entre
pi4 e
pi2 :
- Integral em
:theta
Passo 7
Agora, multiplicamos os resultados das integrais:
Resposta
O valor do integral triplo é
32pi .