Calcule: , onde é o conjunto dos pontos tais que e .

Passo 1

Vamos resolver o integral triplo , onde é o conjunto de pontos que satisfazem e .
Conteúdo da matéria: Cálculo de integrais triplos em coordenadas esféricas.
O que vamos precisar:
  • Entender como converter coordenadas cartesianas para esféricas.
  • Saber definir os limites de integração em coordenadas esféricas.
  • Aplicar a fórmula do Jacobiano para a mudança de coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a região . A condição descreve uma esfera de raio centrada na origem. A segunda condição define a região abaixo do cone .
Teoria aplicada: Em coordenadas esféricas, é mais fácil descrever regiões com simetria esférica ou cônica. As coordenadas esféricas são dadas por:
onde é a distância até a origem, é o ângulo polar (entre o eixo e o vetor posição) e é o ângulo azimutal (no plano ).

Passo 3

Vamos converter as condições da região para coordenadas esféricas.
  1. A esfera se transforma em .
  2. O cone pode ser reescrito como , o que simplifica para , ou seja, .
Portanto, a região em coordenadas esféricas é definida por:
Teoria aplicada: Identificar os limites de integração é essencial para configurar o integral triplo corretamente.

Passo 4

Agora, expressamos o integrando em coordenadas esféricas. Sabemos que:
E o elemento de volume em coordenadas esféricas é:
Então, o integral fica:

Passo 5

Vamos simplificar o integrando:
Portanto, o integral se torna:

Passo 6

Vamos resolver cada integral separadamente.
  1. Integral em :
  1. Integral em :
Vamos fazer uma substituição: seja , então . Assim,
Avaliada entre e :
  1. Integral em :

Passo 7

Agora, multiplicamos os resultados das integrais:

Resposta

O valor do integral triplo é .

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Calcule: , onde é o conjunto .
Calcule a soma das séries abaixo.
(d)
Calcule as integrais triplas: , onde , e .
Calcule: , onde é o conjunto dos pontos tais que e .