Calcule:
, onde
é o conjunto dos pontos
tais que
e
.
Passo 1
Vamos resolver o integral triplo
, onde
é o conjunto de pontos
que satisfazem
e
.
Conteúdo da matéria: Cálculo de integrais triplos em coordenadas esféricas.
O que vamos precisar:
- Entender como converter coordenadas cartesianas para esféricas.
- Saber definir os limites de integração em coordenadas esféricas.
- Aplicar a fórmula do Jacobiano para a mudança de coordenadas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a região
. A condição
descreve uma esfera de raio
centrada na origem. A segunda condição
define a região abaixo do cone
.
Teoria aplicada: Em coordenadas esféricas, é mais fácil descrever regiões com simetria esférica ou cônica. As coordenadas esféricas são dadas por:
onde
é a distância até a origem,
é o ângulo polar (entre o eixo
e o vetor posição) e
é o ângulo azimutal (no plano
).
Passo 3
Vamos converter as condições da região
para coordenadas esféricas.
- A esfera
se transforma em . - O cone
pode ser reescrito como , o que simplifica para , ou seja, .
Portanto, a região
em coordenadas esféricas é definida por:
Teoria aplicada: Identificar os limites de integração é essencial para configurar o integral triplo corretamente.
Passo 4
Agora, expressamos o integrando
em coordenadas esféricas. Sabemos que:
E o elemento de volume em coordenadas esféricas é:
Então, o integral fica:
Passo 5
Vamos simplificar o integrando:
Portanto, o integral se torna:
Passo 6
Vamos resolver cada integral separadamente.
- Integral em
:
- Integral em
:
Vamos fazer uma substituição: seja
, então
. Assim,
Avaliada entre
e
:
- Integral em
:
Passo 7
Agora, multiplicamos os resultados das integrais:
Resposta
O valor do integral triplo é
.
Exercícios relacionados
Calcule:
, onde
é o conjunto
.
Calcule a soma das séries abaixo.
(d)
(d)
Calcule as integrais triplas:
, onde
, e
.
Calcule:
, onde
é o conjunto dos pontos
tais que
e
.