Calcule: integral triplaB z d x d y d z, onde B é o conjunto dos pontos (x, y, z) tais que x^2+y^2+z^2 <= 16 e z <= raizx^2+y^2.

Passo 1

Vamos resolver o integral triplo integral triplaB z , dx , dy , dz, onde B é o conjunto de pontos (x, y, z) que satisfazem x^2+y^2+z^2 <= 16 e z <= raizx^2+y^2.
Conteúdo da matéria: Cálculo de integrais triplos em coordenadas esféricas.
O que vamos precisar:
  • Entender como converter coordenadas cartesianas para esféricas.
  • Saber definir os limites de integração em coordenadas esféricas.
  • Aplicar a fórmula do Jacobiano para a mudança de coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a região B. A condição x^2+y^2+z^2 <= 16 descreve uma esfera de raio 4 centrada na origem. A segunda condição z <= raizx^2+y^2 define a região abaixo do cone z = raizx^2+y^2.
Teoria aplicada: Em coordenadas esféricas, é mais fácil descrever regiões com simetria esférica ou cônica. As coordenadas esféricas são dadas por:
x = rho sin phi cos theta y = rho sin phi sin theta z = rho cos phi
onde rho é a distância até a origem, phi é o ângulo polar (entre o eixo z e o vetor posição) e theta é o ângulo azimutal (no plano xy).

Passo 3

Vamos converter as condições da região B para coordenadas esféricas.
  1. A esfera x^2+y^2+z^2 <= 16 se transforma em rho <= 4.
  2. O cone z = raizx^2+y^2 pode ser reescrito como rho cos phi = rho sin phi, o que simplifica para tan phi = 1, ou seja, phi = pi4.
Portanto, a região B em coordenadas esféricas é definida por:
0 <= rho <= 4, 0 <= theta <= 2pi, pi4 <= phi <= pi2
Teoria aplicada: Identificar os limites de integração é essencial para configurar o integral triplo corretamente.

Passo 4

Agora, expressamos o integrando z em coordenadas esféricas. Sabemos que:
z = rho cos phi
E o elemento de volume em coordenadas esféricas é:
dV = rho^2 sin phi , drho , dphi , dtheta
Então, o integral fica:
integral triplaB z , dV = integral0^2pi integralpi4^pi2 integral0^4 (rho cos phi) cdot rho^2 sin phi , drho , dphi , dtheta

Passo 5

Vamos simplificar o integrando:
rho cos phi cdot rho^2 sin phi = rho^3 cos phi sin phi
Portanto, o integral se torna:
integral0^2pi dtheta integralpi4^pi2 cos phi sin phi , dphi integral0^4 rho^3 , drho

Passo 6

Vamos resolver cada integral separadamente.
  1. Integral em rho:
integral0^4 rho^3 , drho = [ rho^44 ]0^4 = 4^44 - 0 = 2564 = 64
  1. Integral em phi:
integralpi4^pi2 cos phi sin phi , dphi
Vamos fazer uma substituição: seja u = sin phi, então du = cos phi , dphi. Assim,
integral cos phi sin phi , dphi = integral u , du = u^22 = sin^2 phi2
Avaliada entre pi4 e pi2:
[ sin^2 phi2 ]pi4^pi2 = sin^2 ( pi2 )2 - sin^2 ( pi4 )2 = 12 - ( raiz22 )^22 = 12 - 1/22 = 12 - 14 = 14
  1. Integral em theta:
integral0^2pi dtheta = 2pi

Passo 7

Agora, multiplicamos os resultados das integrais:
64 times 14 times 2pi = 64 times 14 = 16 times 2pi = 32pi

Resposta

O valor do integral triplo é 32pi.

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