Calcule:
, onde
é o conjunto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla de
sobre a região
, que é definida por
e
. Isso envolve conceitos de cálculo multivariável, especificamente integrais em coordenadas cilíndricas. Vamos precisar mudar para essas coordenadas para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a região
. A condição
descreve um anel circular no plano
com raio interno
e raio externo
(já que
). A condição
indica que esse anel se estende verticalmente de
a
. Então,
é um cilindro com altura
e um “anel” na base.
Passo 3
Vamos trocar para coordenadas cilíndricas, onde:
Nessas coordenadas,
, e o elemento de volume é
.
Passo 4
Agora, expressamos a função
em coordenadas cilíndricas:
Então, a integral tripla fica:
Passo 5
Vamos simplificar a integral. Primeiro, multiplicamos tudo:
Então, a integral fica:
Passo 6
Vamos integrar em relação a
. Sabemos que:
e
Portanto, a parte com
desaparece, e a integral fica:
Passo 7
Agora, integramos em relação a
:
Então, a integral fica:
Passo 8
Por fim, integramos em relação a
:
Multiplicando tudo:
Resposta
O valor da integral tripla é
.
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Calcule a soma das séries abaixo.
(d)
(d)
Calcule a soma das séries abaixo.
(b)
(b)
Calcule:
, onde
é o conjunto dos pontos
tais que
e
.
Calcule as integrais triplas:
, onde
, e
.