Calcule: , onde é o conjunto .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla de sobre a região , que é definida por e . Isso envolve conceitos de cálculo multivariável, especificamente integrais em coordenadas cilíndricas. Vamos precisar mudar para essas coordenadas para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a região . A condição descreve um anel circular no plano com raio interno e raio externo (já que ). A condição indica que esse anel se estende verticalmente de a . Então, é um cilindro com altura e um “anel” na base.

Passo 3

Vamos trocar para coordenadas cilíndricas, onde:
Nessas coordenadas, , e o elemento de volume é .

Passo 4

Agora, expressamos a função em coordenadas cilíndricas:
Então, a integral tripla fica:

Passo 5

Vamos simplificar a integral. Primeiro, multiplicamos tudo:
Então, a integral fica:

Passo 6

Vamos integrar em relação a . Sabemos que:
e
Portanto, a parte com desaparece, e a integral fica:

Passo 7

Agora, integramos em relação a :
Então, a integral fica:

Passo 8

Por fim, integramos em relação a :
Multiplicando tudo:

Resposta

O valor da integral tripla é .

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Calcule: , onde é o conjunto dos pontos tais que e .
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