Calcule: integral triplaB x^2+x d x d y d z, onde B é o conjunto B=(x, y, z) in R^3 ; 1 <= x^2+y^2 <= 16,0 <= z <= 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla de sobre a região , que é definida por e . Isso envolve conceitos de cálculo multivariável, especificamente integrais em coordenadas cilíndricas. Vamos precisar mudar para essas coordenadas para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a região . A condição descreve um anel circular no plano com raio interno e raio externo (já que ). A condição indica que esse anel se estende verticalmente de a . Então, é um cilindro com altura e um “anel” na base.

Passo 3

Vamos trocar para coordenadas cilíndricas, onde:
x = r cos theta, y = r sin theta, z = z
Nessas coordenadas, , e o elemento de volume é .

Passo 4

Agora, expressamos a função x^2 + x = (r cos theta)^2 + r cos theta = r^2 cos^2 theta + r cos theta em coordenadas cilíndricas:
integral triplaB x^2 + x , dV = integral0^2 integral1^4 integral0^2pi ( r^2 cos^2 theta + r cos theta ) r , dtheta , dr , dz
Então, a integral tripla fica:

Passo 5

Vamos simplificar a integral. Primeiro, multiplicamos tudo:
( r^2 cos^2 theta + r cos theta ) r = r^3 cos^2 theta + r^2 cos theta
Então, a integral fica:
integral0^2 integral1^4 integral0^2pi ( r^3 cos^2 theta + r^2 cos theta ) , dtheta , dr , dz

Passo 6

Vamos integrar em relação a integral0^2pi cos theta , dtheta = 0 . Sabemos que:
integral0^2pi cos^2 theta , dtheta = pi
e
integral0^2 integral1^4 r^3 pi , dr , dz
Portanto, a parte com desaparece, e a integral fica:

Passo 7

Agora, integramos em relação a integral1^4 r^3 , dr = [ r^44 ]1^4 = 4^44 - 1^44 = 2564 - 14 = 2554 :
pi cdot 2554 integral0^2 dz
Então, a integral fica:

Passo 8

Por fim, integramos em relação a integral0^2 dz = 2 :
pi cdot 2554 cdot 2 = pi cdot 2552 = 2552 pi
Multiplicando tudo:

Resposta

O valor da integral tripla é .

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