Use transformada de Laplace para resolver as seguintes equações diferenciais:
y'' + 2y' + 2y = cos(t) + delta(t - pi/2), y(0) = 0, y'(0) = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a Transformada de Laplace! O enunciado que temos é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação e usar propriedades como a transformada de funções trigonométricas e a função delta de Dirac.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em cada termo da equação. Lembrando que a transformada de Laplace de uma derivada funciona assim:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Como e , as transformadas ficam mais simples:
Agora, aplicamos a transformada no lado direito da equa�o:
  • Para :
  • Para :

Passo 3

Agora, colocando tudo na equação transformada:
Vamos fatorar do lado esquerdo:
Para isolar , dividimos ambos os lados por :

Passo 4

Vamos separar a fração para facilitar a inversão:
Primeiro, focamos na parte sem o termo exponencial:
Para resolver isso, podemos usar frações parciais. Mas antes, vamos completar o quadrado no denominador :
Então, a expressão fica:
Aplicando frações parciais e simplificando, encontramos a transformada inversa que nos dará a solução no domínio do tempo.

Passo 5

A inversa da transformada de Laplace para a primeira fração nos dá:
Para a segunda fração, que envolve o termo exponencial , usamos o Teorema da Convolução ou propriedades de atraso na transformada de Laplace. Isso resulta em:
Onde é a função degrau de Heaviside que “ativa” a função a partir de .

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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Use transformada de Laplace para resolver as seguintes equações diferenciais:
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