Use transformada de Laplace para resolver as seguintes equações diferenciais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a Transformada de Laplace! O enunciado que temos é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação e usar propriedades como a transformada de funções trigonométricas e a função delta de Dirac.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em cada termo da equação. Lembrando que a transformada de Laplace de uma derivada funciona assim:
- Para
: - Para
: - Para
:
Como
e
, as transformadas ficam mais simples:
Agora, aplicamos a transformada no lado direito da equa�o:
- Para
: - Para
:
Passo 3
Agora, colocando tudo na equação transformada:
Vamos fatorar
do lado esquerdo:
Para isolar
, dividimos ambos os lados por
:
Passo 4
Vamos separar a fração para facilitar a inversão:
Primeiro, focamos na parte sem o termo exponencial:
Para resolver isso, podemos usar frações parciais. Mas antes, vamos completar o quadrado no denominador
:
Então, a expressão fica:
Aplicando frações parciais e simplificando, encontramos a transformada inversa que nos dará a solução no domínio do tempo.
Passo 5
A inversa da transformada de Laplace para a primeira fração nos dá:
Para a segunda fração, que envolve o termo exponencial
, usamos o Teorema da Convolução ou propriedades de atraso na transformada de Laplace. Isso resulta em:
Onde
é a função degrau de Heaviside que “ativa” a função
a partir de
.
Resposta
A solução da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
(a) Determine as equações paramétricas da reta de interseção entre os planos dados e (b) determine o ângulo entre os planos.
(a) e
(b) e
(a)
(b)
(a)
;
Use transformada de Laplace para resolver as seguintes equações diferenciais:
Calcule as integrais triplas:
, onde
é o paralelepípedo
e
.