Use transformada de Laplace para resolver as seguintes equações diferenciais:
y'' + y' + (5/4) y = 1 - mho(t - pi), y(0) = 1, y'(0) = -1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a Transformada de Laplace. A equação que temos é:
Para resolver isso, vamos precisar aplicar a Transformada de Laplace nos dois lados da equação, usar as condições iniciais e depois fazer a Transformada Inversa para encontrar .

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em cada termo da equação. Lembrando que a Transformada de Laplace da derivada de uma função é:
Aplicando isso à nossa equação:

Passo 3

Vamos substituir as transformadas:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos agrupar os termos que contêm :

Passo 5

Isolamos :
Vamos simplificar o denominador. Observamos que:
Isso facilita a aplicação da Transformada Inversa.

Passo 6

Vamos separar em duas partes:
Agora, vamos resolver cada fração separadamente.

Passo 7

Primeiro, consideramos:
Usamos frações parciais para decompor essa expressão. Suponhamos:
Multiplicando ambos os lados por :
Comparando os coeficientes, encontramos , e .

Passo 8

Resolvendo:
Para :
Para :
Para o termo constante:
Então:

Passo 9

Substituindo os valores de , e :
Simplificando:

Passo 10

Agora, voltamos à expressão de :
Vamos separar os termos:

Passo 11

Vamos aplicar a Transformada Inversa de Laplace em cada termo.
Para o primeiro termo:
E para o termo com , que representa um atraso, temos:

Passo 12

Para o segundo termo:
Completo o quadrado no denominador:
Então, reescrevemos:
Isso se decompõe em duas partes que correspondem a funções exponenciais e senoidais no domínio do tempo.

Passo 13

Finalmente, coletando todos os termos e aplicando a Transformada Inversa, obtemos:
Onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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