Use transformada de Laplace para resolver as seguintes equações diferenciais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a Transformada de Laplace. A equação que temos é:
Para resolver isso, vamos precisar aplicar a Transformada de Laplace nos dois lados da equação, usar as condições iniciais e depois fazer a Transformada Inversa para encontrar .
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em cada termo da equação. Lembrando que a Transformada de Laplace da derivada de uma função é:
Aplicando isso à nossa equação:
Passo 3
Vamos substituir as transformadas:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos agrupar os termos que contêm :
Passo 5
Isolamos :
Vamos simplificar o denominador. Observamos que:
Isso facilita a aplicação da Transformada Inversa.
Passo 6
Vamos separar em duas partes:
Agora, vamos resolver cada fração separadamente.
Passo 7
Primeiro, consideramos:
Usamos frações parciais para decompor essa expressão. Suponhamos:
Multiplicando ambos os lados por :
Comparando os coeficientes, encontramos , e .
Passo 8
Resolvendo:
Para :
Para :
Para o termo constante:
Então:
Passo 9
Substituindo os valores de , e :
Simplificando:
Passo 10
Agora, voltamos à expressão de :
Vamos separar os termos:
Passo 11
Vamos aplicar a Transformada Inversa de Laplace em cada termo.
Para o primeiro termo:
E para o termo com , que representa um atraso, temos:
Passo 12
Para o segundo termo:
Completo o quadrado no denominador:
Então, reescrevemos:
Isso se decompõe em duas partes que correspondem a funções exponenciais e senoidais no domínio do tempo.
Passo 13
Finalmente, coletando todos os termos e aplicando a Transformada Inversa, obtemos:
Onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais.