Calcule as integrais triplas:
(a) integral0^1 integral-1^0 integral0^y^2 d z d y d x

Passo 1

Beleza, vamos calcular essa integral tripla aqui: . A matéria que estamos usando é o cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrais triplas. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar uma função em três dimensões, uma etapa de cada vez.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a parte mais interna da integral, que é integral0^y^2 dz = y^2 - 0 = y^2 . Essa é uma integral simples em relação a . Integrar de 0 até significa simplesmente calcular a diferença entre os limites de integração:

Passo 3

Agora, substituímos o resultado da integral em integral-1^0 y^2 dy na próxima integral, que é em relação a integral y^n dy = y^n+1n+1 + C :
integral y^2 dy = y^33
Para integrar y^33 |-1^0 = 0^33 - (-1)^33 = 0 - ( -13 ) = 13 em relação a , usamos a fórmula básica da integral:
Aqui, , então:
Agora, avaliamos de a :

Passo 4

Por último, substituímos o resultado na última integral, que é em relação a integral0^1 13 dx :
13 integral0^1 dx = 13 ( x ) |0^1 = 13 (1 - 0) = 13
Integrar uma constante em relação a é simples:

Resposta

O valor da integral tripla é .

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