Calcule os limites:
s) lim x infty arctg(x)raizx+1

Passo 1

Vamos resolver o limite . Aqui, estamos trabalhando com cálculo de limites, especificamente com funções trigonométricas inversas e funções de raiz. Para resolver isso, precisamos entender o comportamento da função e da função quando tende ao infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento de limx infty arctan(x) = pi2 quando vai para o infinito. A função é a função arco-tangente, que nos dá o ângulo cuja tangente é . Sabemos que:
Isso porque, conforme aumenta, o ângulo cuja tangente é se aproxima de radianos (90 graus).

Passo 3

Agora, vamos olhar para limx infty raizx+1 = infty quando tende ao infinito. A função raiz quadrada cresce sem limites conforme seu argumento aumenta. Ou seja:
Isso significa que fica cada vez maior à medida que cresce.

Passo 4

Com esses resultados, podemos analisar o limite original. Temos uma constante lim x infty pi2raizx+1 no numerador e uma quantidade que tende ao infinito no denominador:
Quando uma constante é dividida por um número que cresce sem limites, o resultado tende a zero. Isso ocorre porque, quanto maior o denominador, menor o valor da fração.

Resposta

lim x infty arctan(x)raizx+1 = 0

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