Calcule, usando a integral tripla, o volume dos seguintes sólidos: (a) W é o sólido no primeiro octante, limitado pelos gráficos das equações y^2 + z^2 = 4, x + y = 2, z=0, y=0 e x = 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o volume de um sólido que está no primeiro octante e é limitado por algumas superfícies: , , , e . Vamos usar integrais triplas para achar esse volume. Para isso, precisamos entender bem os limites de integração e como essas superfícies se interceptam no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o sólido . Como estamos no primeiro octante, todos os , e são positivos ou zero. A equação representa um cilindro circular com raio 2, alinhado ao eixo . A equação é um plano que corta os eixos e em e , respectivamente. As outras equações , e são os planos coordenados que limitam o sólido no primeiro octante.

Passo 3

Vamos determinar os limites de integração para , e . Observando as equações:
  1. De , podemos expressar em função de : .
  2. A equação do cilindro nos dá a relação entre e .
  3. Como estamos no primeiro octante, , , e variam de 0 até os limites impostos pelas outras equações.
Vamos escolher a ordem de integração .
  • Para : Dado , varia de 0 até (resolvendo para ).
  • Para : Com , e sabendo que é positivo, varia de 0 até 2.
  • Para : Com variando até 2, varia de 0 até .

Passo 4

Agora, vamos montar a integral tripla para calcular o volume :

Passo 5

Vamos resolver a integral passo a passo:
  1. Integral mais interna ( ):
  1. Integral em :
Aqui, é constante em relação a .
  1. Integral em :
Vamos expandir a expressão dentro da integral:
Isso pode ser dividido em duas integrais separadas:
  1. Resolvendo as integrais:
    • Primeira integral:
      Isso é uma integral conhecida que representa a área de um quarto de círculo com raio 2:
    • Segunda integral:
      Vamos usar substituição:
      Mudando os limites:
      • Quando ,
      • Quando ,
      Substituindo:
      Calculando:
  2. Calculando o volume final:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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