Calcule, usando a integral tripla, o volume dos seguintes sólidos: (a) é o sólido no primeiro octante, limitado pelos gráficos das equações , e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o volume de um sólido que está no primeiro octante e é limitado por algumas superfícies: , , , e . Vamos usar integrais triplas para achar esse volume. Para isso, precisamos entender bem os limites de integração e como essas superfícies se interceptam no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o sólido . Como estamos no primeiro octante, todos os , e são positivos ou zero. A equação representa um cilindro circular com raio 2, alinhado ao eixo . A equação é um plano que corta os eixos e em e , respectivamente. As outras equações , e são os planos coordenados que limitam o sólido no primeiro octante.
Passo 3
Vamos determinar os limites de integração para , e . Observando as equações:
De , podemos expressar em função de : .
A equação do cilindro nos dá a relação entre e .
Como estamos no primeiro octante, , , e variam de 0 até os limites impostos pelas outras equações.
Vamos escolher a ordem de integração .
Para : Dado , varia de 0 até (resolvendo para ).
Para : Com , e sabendo que é positivo, varia de 0 até 2.
Para : Com variando até 2, varia de 0 até .
Passo 4
Agora, vamos montar a integral tripla para calcular o volume :
Passo 5
Vamos resolver a integral passo a passo:
Integral mais interna ():
Integral em :
Aqui, é constante em relação a .
Integral em :
Vamos expandir a expressão dentro da integral:
Isso pode ser dividido em duas integrais separadas:
Resolvendo as integrais:
Primeira integral:
Isso é uma integral conhecida que representa a área de um quarto de círculo com raio 2: