Calcule as Integrais Triplas:
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de integrais triplas juntos! A gente vai calcular a integral
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais múltiplas, que nos ajudam a calcular o volume sob uma superfície em três dimensões.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a ordem das integrações: integramos em
de
a
, depois em
de
a
, e por último em
de
a
. Vamos começar integrando a função
em relação a
.
Passo 3
Integrando
em relação a
:
Passo 4
Agora, integrando
em relação a
:
Passo 5
Juntando os resultados das integrações em
, temos:
Agora, vamos integrar essa expressão em relação a
de
a
:
Passo 6
Por último, vamos integrar o resultado
em relação a
de
a
:
Resposta
O valor da integral tripla é
.
Exercícios relacionados
Considere
. Determine o valor máximo de
sobre a parte da esfera
em que
e
. Utilize o resultado para provar que, para números reais e positivos
tem-se
Encontre os valores extremos de
,
e
sujeitos ao vínculo
.
Calcule o volume do sólido
dado por:
;
Determine as distâncias máxima e mínima de um ponto da elipse
à reta
.