Calcule as Integrais Triplas: integral0^1 integral0^2 integral-1^1 x z-y^3 d x d y d z;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de integrais triplas juntos! A gente vai calcular a integral . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais múltiplas, que nos ajudam a calcular o volume sob uma superfície em três dimensões.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a ordem das integrações: integramos em de a , depois em de a , e por último em de a . Vamos começar integrando a função em relação a .

Passo 3

Integrando integral-1^1 x z , dx = z integral-1^1 x , dx = z [ 12 x^2 ]-1^1 = z ( 12(1)^2 - 12(-1)^2 ) = z ( 12 - 12 ) = 0 em relação a :

Passo 4

Agora, integrando integral-1^1 (-y^3) , dx = -y^3 integral-1^1 dx = -y^3 (1 - (-1)) = -y^3 times 2 = -2 y^3 em relação a :

Passo 5

Juntando os resultados das integrações em 0 - 2 y^3 = -2 y^3 , temos:
integral0^2 (-2 y^3) , dy = -2 integral0^2 y^3 , dy = -2 [ 14 y^4 ]0^2 = -2 ( 14(2)^4 - 0 ) = -2 ( 164 ) = -2 times 4 = -8
Agora, vamos integrar essa expressão em relação a de a :

Passo 6

Por último, vamos integrar o resultado integral0^1 (-8) , dz = -8 integral0^1 dz = -8 [z]0^1 = -8 (1 - 0) = -8 em relação a de a :

Resposta

O valor da integral tripla é .

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