Calcule o volume do sólido E dado por: E = {(x, y, z) | 0 <= x <= 1 ; 0 <= y <= 2 - 2z ; 0 <= z <= 1 - x};

Passo 1

Beleza, vamos calcular o volume do sólido que é definido pelas seguintes condições:
Aqui, estamos trabalhando com cálculo de volume usando integrais múltiplas, especificamente integrais triplas. Vamos precisar entender os limites de integração para cada variável ( , , ) e como elas se relacionam entre si.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de cada variável:
  • varia de 0 a 1.
  • Para cada valor de , varia de 0 a .
  • Para cada par de e , varia de 0 a .
Isso nos indica a ordem de integração: de 0 a 1, de 0 a , e de 0 a .

Passo 3

Vamos montar a integral tripla para calcular o volume :
Aqui, estamos integrando 1 (já que queremos o volume) sobre os limites definidos.

Passo 4

Começamos integrando em relação a :
Agora, nossa integral fica:

Passo 5

Agora, integramos em relação a :
Simplificando:
Agora, nossa integral fica:

Passo 6

Finalmente, integramos em relação a :

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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