Determine as distâncias máxima e mínima de um ponto da elipse
à reta
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as distâncias máxima e mínima de um ponto da elipse
até a reta
. Vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a fórmula de distância entre um ponto e uma reta, além de trabalhar com as propriedades da elipse.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação da elipse para facilitar nosso trabalho. A equação dada é:
Podemos dividir todos os termos por 4 para obter:
Agora, temos a forma padrão da elipse:
Onde
e
. Portanto,
e
.
Passo 3
Sabemos que a distância
de um ponto
até a reta
é dada pela fórmula:
No nosso caso, a reta é
, então
,
e
.
Passo 4
Vamos substituir esses valores na fórmula da distância:
Queremos encontrar os pontos
na elipse que maximizam e minimizam essa distância.
Passo 5
Para encontrar a distância máxima e mínima, podemos usar o método de Lagrange, que é útil para otimizar funções sujeitas a restrições. Nossa função a ser otimizada é:
E a restrição é:
Passo 6
Configuramos o multiplicador de Lagrange
e resolvemos o sistema:
Onde
.
Calculando os gradientes:
Então:
Passo 7
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Igualando as duas expressões para
:
Passo 8
Substituímos
na equação da elipse:
Então,
.
Passo 9
Agora, calculamos
para ambos os pontos:
Para
:
Para
:
Passo 10
Agora, substituímos esses valores na fórmula da distância:
Para
:
Para
:
Resposta
A distância mínima é
unidades e a distância máxima é
unidades.
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Calcule o volume do sólido
dado por:
;
Calcule as Integrais Triplas:
;
Considere uma cônica dada pela equação
em que
e
. Sejam
e
a maior e a menor distância da cônica à origem, respectivamente. Prove que
Encontre uma expressão análoga para
.
Calcule a integral dupla
na região indicada: