Determine as distâncias máxima e mínima de um ponto da elipse à reta .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as distâncias máxima e mínima de um ponto da elipse até a reta . Vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a fórmula de distância entre um ponto e uma reta, além de trabalhar com as propriedades da elipse.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação da elipse para facilitar nosso trabalho. A equação dada é:
Podemos dividir todos os termos por 4 para obter:
Agora, temos a forma padrão da elipse:
Onde e . Portanto, e .

Passo 3

Sabemos que a distância de um ponto até a reta é dada pela fórmula:
No nosso caso, a reta é , então , e .

Passo 4

Vamos substituir esses valores na fórmula da distância:
Queremos encontrar os pontos na elipse que maximizam e minimizam essa distância.

Passo 5

Para encontrar a distância máxima e mínima, podemos usar o método de Lagrange, que é útil para otimizar funções sujeitas a restrições. Nossa função a ser otimizada é:
E a restrição é:

Passo 6

Configuramos o multiplicador de Lagrange e resolvemos o sistema:
Onde .
Calculando os gradientes:
Então:

Passo 7

Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Igualando as duas expressões para :

Passo 8

Substituímos na equação da elipse:
Então, .

Passo 9

Agora, calculamos para ambos os pontos:
Para :
Para :

Passo 10

Agora, substituímos esses valores na fórmula da distância:
Para :
í
Para :
á

Resposta

A distância mínima é unidades e a distância máxima é unidades.

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