Considere
. Determine o valor máximo de
sobre a parte da esfera
em que
e
. Utilize o resultado para provar que, para números reais e positivos
tem-se
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma função
que queremos maximizar, ou seja, encontrar o maior valor possível dessa função. Mas tem uma condição: os pontos
estão na parte da esfera definida por
onde
,
e
. Além disso, vamos usar esse resultado para provar uma desigualdade envolvendo números reais positivos
.
Para resolver isso, vamos precisar usar otimização com restrições, especificamente o método dos multiplicadores de Lagrange, que nos ajuda a encontrar os extremos de uma função sujeita a uma restrição.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o método dos multiplicadores de Lagrange. A ideia é combinar a função que queremos maximizar
com a restrição
através de um multiplicador
.
A função de Lagrange fica:
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
,
,
e
, e igualá-las a zero para encontrar os pontos críticos.
- Derivada em relação a
:
- Derivada em relação a
:
- Derivada em relação a
:
- Derivada em relação a
(a própria restrição):
Passo 4
Observando as equações das derivadas em
e
:
Isso implica que
, ou seja,
(já que
).
Passo 5
Agora, comparando as equações de
e
:
Podemos dividir a segunda equação pela primeira:
Passo 6
Sabemos que
e
. Vamos substituir esses valores na restrição
:
Assim, temos:
Passo 7
Com os valores de
,
e
encontrados, vamos calcular o valor máximo de
:
Passo 8
Agora, vamos usar esse resultado para provar que, para números reais positivos
, temos:
Para isso, vamos relacionar
com
usando as condições de maximização que encontramos. A ideia é aplicar a Desigualdade de Geometria e Aritmética adequada para as potências envolvidas.
Passo 9
Considerando que
,
e
, e sabemos que
e
, podemos substituir essas relações na expressão
:
Passo 10
Usando a restrição
e sabendo que
e
, temos:
Substituindo na expressão de
:
Passo 11
Agora, aplicando a Desigualdade de Geometria e Aritmética, sabemos que para números positivos, o produto é maximizado quando todos os termos são iguais, respeitando a média aritmética. Assim:
Isso confirma a desigualdade que queríamos provar.
Resposta
Assim, demonstramos que para números reais positivos
, vale:
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Encontre os valores extremos de
,
e
sujeitos ao vínculo
.
Calcule as Integrais Triplas:
.
Calcule as Integrais Triplas:
;
Calcule o volume do sólido
dado por:
;