Considere . Determine o valor máximo de sobre a parte da esfera em que e . Utilize o resultado para provar que, para números reais e positivos tem-se

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma função que queremos maximizar, ou seja, encontrar o maior valor possível dessa função. Mas tem uma condição: os pontos estão na parte da esfera definida por onde , e . Além disso, vamos usar esse resultado para provar uma desigualdade envolvendo números reais positivos .
Para resolver isso, vamos precisar usar otimização com restrições, especificamente o método dos multiplicadores de Lagrange, que nos ajuda a encontrar os extremos de uma função sujeita a uma restrição.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o método dos multiplicadores de Lagrange. A ideia é combinar a função que queremos maximizar com a restrição através de um multiplicador .
A função de Lagrange fica:

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a , , e , e igualá-las a zero para encontrar os pontos críticos.
  1. Derivada em relação a :
  1. Derivada em relação a :
  1. Derivada em relação a :
  1. Derivada em relação a (a própria restrição):

Passo 4

Observando as equações das derivadas em e :
Isso implica que , ou seja, (já que ).

Passo 5

Agora, comparando as equações de e :
Podemos dividir a segunda equação pela primeira:

Passo 6

Sabemos que e . Vamos substituir esses valores na restrição :
Assim, temos:

Passo 7

Com os valores de , e encontrados, vamos calcular o valor máximo de :

Passo 8

Agora, vamos usar esse resultado para provar que, para números reais positivos , temos:
Para isso, vamos relacionar com usando as condições de maximização que encontramos. A ideia é aplicar a Desigualdade de Geometria e Aritmética adequada para as potências envolvidas.

Passo 9

Considerando que , e , e sabemos que e , podemos substituir essas relações na expressão :

Passo 10

Usando a restrição e sabendo que e , temos:
Substituindo na expressão de :

Passo 11

Agora, aplicando a Desigualdade de Geometria e Aritmética, sabemos que para números positivos, o produto é maximizado quando todos os termos são iguais, respeitando a média aritmética. Assim:
Isso confirma a desigualdade que queríamos provar.

Resposta

Assim, demonstramos que para números reais positivos , vale:

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