Encontre os valores extremos de , e sujeitos ao vínculo .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede pra encontrar os valores extremos da função com as condições , e , além da restrição . A matéria que a gente vai precisar aqui é de otimização com restrições, especificamente usando Multiplicadores de Lagrange. Esse método ajuda a encontrar os máximos e mínimos de uma função quando tem uma condição que relaciona as variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a Função de Lagrange, que combina a função que queremos otimizar com a restrição. A gente faz isso adicionando a restrição multiplicada por um multiplicador de Lagrange . Então, a função de Lagrange fica assim:

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas parciais da função de Lagrange em relação a cada variável , , e , e igualar cada uma a zero. Essas equações vão nos ajudar a encontrar os pontos onde a função pode ter valores máximos ou mínimos.
As derivadas são:

Passo 4

Vamos resolver essas equações para encontrar os valores de , , e .
Primeiro, da primeira equação:
Da segunda equação:
Igualando as duas expressões para :
Simplificando, temos:
Agora, da terceira equação:
Igualando com a primeira:
Simplificando:
Agora, sabemos que e . Vamos usar a restrição :
Então:

Resposta

Os valores extremos da função são atingidos em , e .

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