Encontre os valores extremos de
,
e
sujeitos ao vínculo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede pra encontrar os valores extremos da função
com as condições
,
e
, além da restrição
. A matéria que a gente vai precisar aqui é de otimização com restrições, especificamente usando Multiplicadores de Lagrange. Esse método ajuda a encontrar os máximos e mínimos de uma função quando tem uma condição que relaciona as variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a Função de Lagrange, que combina a função que queremos otimizar com a restrição. A gente faz isso adicionando a restrição multiplicada por um multiplicador de Lagrange
. Então, a função de Lagrange
fica assim:
Passo 3
Agora, vamos encontrar as derivadas parciais da função de Lagrange em relação a cada variável
,
,
e
, e igualar cada uma a zero. Essas equações vão nos ajudar a encontrar os pontos onde a função pode ter valores máximos ou mínimos.
As derivadas são:
Passo 4
Vamos resolver essas equações para encontrar os valores de
,
,
e
.
Primeiro, da primeira equação:
Da segunda equação:
Igualando as duas expressões para
:
Simplificando, temos:
Agora, da terceira equação:
Igualando com a primeira:
Simplificando:
Agora, sabemos que
e
. Vamos usar a restrição
:
Então:
Resposta
Os valores extremos da função são atingidos em
,
e
.
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Calcule as Integrais Triplas:
.
Calcule o volume do sólido
dado por:
;
Considere
. Determine o valor máximo de
sobre a parte da esfera
em que
e
. Utilize o resultado para provar que, para números reais e positivos
tem-se
Calcule as Integrais Triplas:
;