Calcule as Integrais Triplas: integral0^pi integral0^2 integral0^1 2 x y z d x d y d z.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular uma Integral Tripla da função sobre um certo volume definido pelos limites de integração. Vamos precisar entender como funcionam integrais triplas e como aplicá-las passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de integração:
  • varia de 0 a 1
  • varia de 0 a 2
  • varia de 0 a
Isso significa que estamos integrando a função dentro de um paralelepípedo no espaço.

Passo 3

Vamos começar integrando em relação a integral0^1 2xyz , dx . A integral em 2yz integral0^1 x , dx fica assim:
Como e são tratados como constantes nessa integral, podemos fatorar esses termos:

Passo 4

Agora, calculamos a integral de integral0^1 x , dx = [ x^22 ]0^1 = 1^22 - 0^22 = 12 de 0 a 1:
2yz times 12 = yz
Multiplicando de volta:

Passo 5

Agora, nossa integral tripla se reduz a uma integral dupla:
integral0^pi integral0^2 yz , dy , dz
Vamos integrar em relação a integral0^2 yz , dy = z integral0^2 y , dy = z [ y^22 ]0^2 = z times 42 = 2z primeiro:

Passo 6

Agora, restou só integrar em relação a integral0^pi 2z , dz = 2 integral0^pi z , dz = 2 [ z^22 ]0^pi = 2 times pi^22 = pi^2 :

Resposta

O valor da integral tripla é .

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