Calcule as Integrais Triplas:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular uma Integral Tripla da função
sobre um certo volume definido pelos limites de integração. Vamos precisar entender como funcionam integrais triplas e como aplicá-las passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites de integração:
-
varia de 0 a 1 -
varia de 0 a 2 -
varia de 0 a
Isso significa que estamos integrando a função
dentro de um paralelepípedo no espaço.
Passo 3
Vamos começar integrando em relação a
. A integral em
fica assim:
Como
e
são tratados como constantes nessa integral, podemos fatorar esses termos:
Passo 4
Agora, calculamos a integral de
de 0 a 1:
Multiplicando de volta:
Passo 5
Agora, nossa integral tripla se reduz a uma integral dupla:
Vamos integrar em relação a
primeiro:
Passo 6
Agora, restou só integrar em relação a
:
Resposta
O valor da integral tripla é
.
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dado por:
;
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à parábola
.
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,
e
sujeitos ao vínculo
.
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. Determine o valor máximo de
sobre a parte da esfera
em que
e
. Utilize o resultado para provar que, para números reais e positivos
tem-se