Calcule o volume do sólido dado por: ;

Passo 1

Beleza, vamos por partes! O problema pede para calcular o volume de um sólido chamado , que está definido pelas seguintes condições:
Isso significa que queremos encontrar o espaço tridimensional onde varia de 0 até , varia de 0 até 2, e varia de 0 até . Para resolver isso, vamos usar integrais triplas, que são usadas para calcular volumes de sólidos no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de integração para cada variável. Já temos os limites dados:
  • varia de 0 a 2.
  • Para cada valor de , varia de 0 a .
  • Para cada par , varia de 0 a .
A integral tripla para calcular o volume será:

Passo 3

Vamos começar resolvendo a integral mais interna, que é em relação a :
Agora, substituímos esse resultado na integral:

Passo 4

Em seguida, vamos integrar em relação a . Como não depende de , a integral fica:
Então, agora temos:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Agora, a integral fica:

Passo 6

Agora, vamos integrar termo a termo em relação a :

Passo 7

Agora, somamos todos os resultados das integrais:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

Determine a menos distância do ponto à parábola .
Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função.
Calcule as Integrais Triplas: .
Encontre os valores extremos de , e sujeitos ao vínculo .