Determine a menos distância do ponto à parábola .

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para encontrar a menor distância entre o ponto e a parábola . Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e cálculo, principalmente a minimização de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a distância entre dois pontos no plano. A fórmula para a distância entre dois pontos e é:
Aqui, queremos a distância entre e um ponto qualquer na parábola.

Passo 3

Como está relacionado com na parábola , podemos expressar em termos de :
Isso nos permite escrever a distância apenas em termos de .

Passo 4

Substituindo na fórmula da distância:
Para facilitar a minimização, vamos trabalhar com em vez de :

Passo 5

Agora, expandimos o termo :
Então, fica:

Passo 6

Para encontrar o mínimo de , derivamos essa expressão em relação a e igualamos a zero:
Simplificando:

Passo 7

Resolvendo a equação acima:
A segunda equação não tem solução real, pois nunca é zero para números reais. Portanto, a única solução real é .

Passo 8

Substituindo na equação da parábola para encontrar :
Então, o ponto na parábola mais próximo de é .

Passo 9

Agora, calculamos a distância entre e :

Resposta

A menor distância entre o ponto e a parábola é 1 unidade.

Exercícios relacionados

Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função.
Suponha que seja um ponto crítico de uma função com derivadas de segunda ordem contínuas. Em cada caso, o que se pode dizer sobre ?
Calcule o volume do sólido dado por: ;
Calcule as Integrais Triplas: .