Determine a menos distância do ponto
à parábola
.
Passo 1
Vamos lá! O enunciado pede para encontrar a menor distância entre o ponto
e a parábola
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e cálculo, principalmente a minimização de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a distância entre dois pontos no plano. A fórmula para a distância
entre dois pontos
e
é:
Aqui, queremos a distância entre
e um ponto qualquer
na parábola.
Passo 3
Como
está relacionado com
na parábola
, podemos expressar
em termos de
:
Isso nos permite escrever a distância apenas em termos de
.
Passo 4
Substituindo
na fórmula da distância:
Para facilitar a minimização, vamos trabalhar com
em vez de
:
Passo 5
Agora, expandimos o termo
:
Então,
fica:
Passo 6
Para encontrar o mínimo de
, derivamos essa expressão em relação a
e igualamos a zero:
Simplificando:
Passo 7
Resolvendo a equação acima:
A segunda equação não tem solução real, pois
nunca é zero para números reais. Portanto, a única solução real é
.
Passo 8
Substituindo
na equação da parábola para encontrar
:
Então, o ponto na parábola mais próximo de
é
.
Passo 9
Agora, calculamos a distância entre
e
:
Resposta
A menor distância entre o ponto
e a parábola
é 1 unidade.
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;
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.