Calcule as integrais triplas repetidas: integral0^1 integral0^x integral0^z(x+z) d y d z d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla: integral0^1 integral0^x integral0^z(x+z) , dy , dz , dx. Estamos trabalhando com cálculo de múltiplas integrais, especificamente integrais triplas. Para resolver isso, vamos integrar passo a passo, começando por y, depois z e por último x.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar em relação a y. A função que vamos integrar é (x + z). Como não há y na expressão, a integral em relação a y é simplesmente (x + z) multiplicado pelo intervalo de integração de y.
Então:
integral0^z (x + z) , dy = (x + z) cdot (z - 0) = (x + z) cdot z = xz + z^2

Passo 3

Agora, temos que integrar a expressão resultante em relação a z, que é xz + z^2, com os limites de 0 a x.
Vamos fazer isso separadamente:
  1. Integração de xz em relação a z:
integral0^x xz , dz = x cdot z^22 |0^x = x cdot x^22 = x^32
  1. Integração de z^2 em relação a z:
integral0^x z^2 , dz = z^33 |0^x = x^33
Somando as duas partes:
x^32 + x^33 = 3x^3 + 2x^36 = 5x^36

Passo 4

Por último, vamos integrar a expressão 5x^36 em relação a x, com os limites de 0 a 1.
integral0^1 5x^36 , dx = 56 cdot x^44 |0^1 = 56 cdot 14 = 524

Resposta

O valor da integral tripla é 524.

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