Uma lata cilíndrica é feita para receber
de óleo. Encontre as dimensões da lata que minimizarão o custo do material usado na lata.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar as dimensões de uma lata cilíndrica que consiga guardar 1 litro de óleo e que use o mínimo de material possível. Isso significa que queremos minimizar a área de superfície da lata, já que menos material usado significa menor área. Vamos precisar usar um pouco de cálculo, especificamente derivadas, para otimizar essa situação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar as fórmulas básicas de um cilindro. A volume
de um cilindro é dado por:
E a área de superfície
é:
Aqui,
é o raio da base e
é a altura da lata.
Passo 3
Sabemos que a lata precisa guardar 1 litro de óleo. Como 1 litro é igual a 1000 centímetros cúbicos (
), temos:
Vamos resolver essa equação para uma das variáveis, por exemplo,
:
Passo 4
Agora, vamos substituir
na fórmula da área de superfície
:
Simplificando:
Agora, temos a área em função apenas de
. Nosso objetivo é minimizar essa função.
Passo 5
Para encontrar o valor de
que minimiza a área, vamos derivar
em relação a
e igualar a derivada a zero:
Resolvendo para
:
Calculando
:
Passo 6
Agora que temos o raio, vamos encontrar a altura
usando a equação que encontramos no Passo 3:
Resposta
As dimensões que minimizam o custo do material são aproximadamente raio de 5,43 cm e altura de 10,8 cm.