Uma lata cilíndrica é feita para receber 1 l de óleo. Encontre as dimensões da lata que minimizarão o custo do material usado na lata.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar as dimensões de uma lata cilíndrica que consiga guardar 1 litro de óleo e que use o mínimo de material possível. Isso significa que queremos minimizar a área de superfície da lata, já que menos material usado significa menor área. Vamos precisar usar um pouco de cálculo, especificamente derivadas, para otimizar essa situação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar as fórmulas básicas de um cilindro. A volume de um cilindro é dado por:
E a área de superfície é:
Aqui, é o raio da base e é a altura da lata.

Passo 3

Sabemos que a lata precisa guardar 1 litro de óleo. Como 1 litro é igual a 1000 centímetros cúbicos ( ), temos:
Vamos resolver essa equação para uma das variáveis, por exemplo, :

Passo 4

Agora, vamos substituir na fórmula da área de superfície :
Simplificando:
Agora, temos a área em função apenas de . Nosso objetivo é minimizar essa função.

Passo 5

Para encontrar o valor de que minimiza a área, vamos derivar em relação a e igualar a derivada a zero:
Resolvendo para :
Calculando :

Passo 6

Agora que temos o raio, vamos encontrar a altura usando a equação que encontramos no Passo 3:

Resposta

As dimensões que minimizam o custo do material são aproximadamente raio de 5,43 cm e altura de 10,8 cm.

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