Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla de sobre a bola unitária , que é o conjunto de pontos onde . Para isso, vamos usar coordenadas esféricas, que facilitam bastante quando estamos lidando com integrais sobre esferas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como transformar as coordenadas cartesianas para esféricas :
Aqui, é a distância do ponto à origem, é o ângulo no plano (longitude), e é o ângulo a partir do eixo (latitude).
Passo 3
A integral em coordenadas esféricas fica mais simples! A função que vamos integrar, , depende apenas de , já que . Então, a função dentro da integral vira .
Além disso, o elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por .
Passo 4
Agora, vamos reescrever a integral tripla em coordenadas esféricas:
integral triplaB e^(x^2+y^2+z^2)^3 / 2 , dx , dy , dz = integral0^2pi integral0^pi integral0^1 e^r^3 cdot r^2 sinphi , dr , dphi , dtheta
Aqui, os limites de integração para vão de 0 a 1 (raio da bola unitária), para de 0 a , e para de 0 a .
Passo 5
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a integral0^1 e^r^3 cdot r^2 , dr :