Calcule integral triplaB e^(x^2+y^2+z^2)^3 / 2 d x d y d z, onde B é a bola unitária
B=(x, y, z) mid x^2+y^2+z^2 <= 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla de sobre a bola unitária , que é o conjunto de pontos onde . Para isso, vamos usar coordenadas esféricas, que facilitam bastante quando estamos lidando com integrais sobre esferas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como transformar as coordenadas cartesianas x = r sinphi costheta y = r sinphi sintheta z = r cosphi para esféricas :
Aqui, é a distância do ponto à origem, é o ângulo no plano (longitude), e é o ângulo a partir do eixo (latitude).

Passo 3

A integral em coordenadas esféricas fica mais simples! A função que vamos integrar, , depende apenas de , já que . Então, a função dentro da integral vira .
Além disso, o elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por .

Passo 4

Agora, vamos reescrever a integral tripla em coordenadas esféricas:
integral triplaB e^(x^2+y^2+z^2)^3 / 2 , dx , dy , dz = integral0^2pi integral0^pi integral0^1 e^r^3 cdot r^2 sinphi , dr , dphi , dtheta
Aqui, os limites de integração para vão de 0 a 1 (raio da bola unitária), para de 0 a , e para de 0 a .

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a integral0^1 e^r^3 cdot r^2 , dr :
13 integral0^1 e^u , du = 13 [ e^u ]0^1 = 13 ( e^1 - e^0 ) = 13 (e - 1)
Para resolver isso, fazemos uma substituição simples. Seja , então ou .
Substituindo, a integral fica:

Passo 6

Agora, vamos resolver a integral em relação a integral0^pi sinphi , dphi :
integral0^pi sinphi , dphi = [ -cosphi ]0^pi = -cospi + cos0 = -(-1) + 1 = 2
Isso é uma integral padrão:

Passo 7

Por fim, a integral em relação a integral0^2pi dtheta = 2pi :

Resposta

Multiplicando todas as partes:
13 (e - 1) times 2 times 2pi = 43 pi (e - 1)
Então, o valor da integral tripla é .

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