Calcule as integrais trocando a ordem de integração:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla trocando a ordem de integração. Isso faz parte do estudo de integração múltipla em cálculo. Para isso, vamos precisar entender os limites de integração atuais e descobrir como reescrever esses limites quando trocamos a ordem das integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar os limites de integração dados:
- Y varia de 0 a 4.
- Para cada Y, X varia de
até 2.
Isso define uma região no plano XY onde estamos integrando. Vamos visualizar isso para facilitar.
Passo 3
Para trocar a ordem de integração, precisamos expressar X primeiro e depois Y. Observando os limites:
- X varia de
a 2, mas queremos expressar Y em função de X. - Reescrevendo
, temos .
Além disso, Y varia de 0 a 4, então para cada X, Y vai de 0 até
.
Passo 4
Agora, determinamos os novos limites:
- X varia de 0 a 2 (já que
no limite superior de Y = 4 dá X = 2). - Para cada X, Y varia de 0 a
.
Então, a integral com a ordem trocada fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a Y:
Como
não depende de Y, podemos tratar como uma constante:
Passo 6
Agora, a integral fica:
Podemos simplificar tirando o 2 para fora:
Passo 7
Para resolver
, usamos a substituição:
- Seja
, então , ou .
Substituindo:
Passo 8
Calculando os limites:
- Quando
, . - Quando
, .
Então:
Passo 9
Integrando
:
Resposta
A integral dupla trocando a ordem de integração vale
.
Exercícios relacionados
Considere as funções
e
. Faça o seguinte:
(b)Escreva explicitamente a composta ( ).
(b)Escreva explicitamente a composta (
Mostrar que a função
atinge seu valor máximo no ponto
e seu valor mínimo em pontos da fronteira da região limitada por
.
Considere as funções
e
. Faça o seguinte:
(a)Encontre as matrizes Jacobianas de e
.
(a)Encontre as matrizes Jacobianas de
a) Sejam u e
campos vetoriais em
. Mostre que: