Calcule as integrais trocando a ordem de integração:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla trocando a ordem de integração. Isso faz parte do estudo de integração múltipla em cálculo. Para isso, vamos precisar entender os limites de integração atuais e descobrir como reescrever esses limites quando trocamos a ordem das integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar os limites de integração dados:
  • Y varia de 0 a 4.
  • Para cada Y, X varia de até 2.
Isso define uma região no plano XY onde estamos integrando. Vamos visualizar isso para facilitar.

Passo 3

Para trocar a ordem de integração, precisamos expressar X primeiro e depois Y. Observando os limites:
  • X varia de a 2, mas queremos expressar Y em função de X.
  • Reescrevendo , temos .
Além disso, Y varia de 0 a 4, então para cada X, Y vai de 0 até .

Passo 4

Agora, determinamos os novos limites:
  • X varia de 0 a 2 (já que no limite superior de Y = 4 dá X = 2).
  • Para cada X, Y varia de 0 a .
Então, a integral com a ordem trocada fica:

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a Y:
Como não depende de Y, podemos tratar como uma constante:

Passo 6

Agora, a integral fica:
Podemos simplificar tirando o 2 para fora:

Passo 7

Para resolver , usamos a substituição:
  • Seja , então , ou .
Substituindo:

Passo 8

Calculando os limites:
  • Quando , .
  • Quando , .
Então:

Passo 9

Integrando :

Resposta

A integral dupla trocando a ordem de integração vale .

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