Mostrar que a função g(x,y,z) = 8 - 2x^2 - 2y^2 - z^2 atinge seu valor máximo no ponto (0, 0, 0) e seu valor mínimo em pontos da fronteira da região limitada por x^2 + y^2 + z^2 = 16.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que a função atinge seu valor máximo no ponto e seu valor mínimo na fronteira da região limitada por . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente otimização de funções com restrições.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que estamos analisando: . Essa é uma função quadrática em três variáveis. O termo quadrático negativo indica que a função tem uma forma de “cúpula”, ou seja, abre para baixo, sugerindo que pode ter um ponto máximo.

Passo 3

Para encontrar o ponto onde a função atinge seu valor máximo sem restrições, calculamos as derivadas parciais da função em relação a , e e igualamos a zero. Isso nos dará os pontos críticos.
Então, o único ponto crítico é .

Passo 4

Agora, para garantir que esse ponto seja realmente um máximo, podemos analisar a segunda derivada ou simplesmente observar que, por todos os termos quadráticos serem negativos, a função sempre diminui conforme nos afastamos do ponto . Portanto, é o ponto onde a função atinge seu valor máximo.

Passo 5

Em seguida, vamos analisar o mínimo da função na fronteira da região limitada por . Aqui, estamos lidando com uma restrição, então podemos usar o método de Lagrange.
Definimos uma nova função .
Calculamos as derivadas parciais de e as igualamos a zero:
Para que as equações sejam satisfeitas, ou os valores de são zero, o que não satisfaz a restrição , ou o fator multiplicador é igual a zero.
Resolvendo, encontramos que os pontos onde a função atinge seu mínimo estão na fronteira da esfera .

Resposta

A função atinge seu valor máximo no ponto e seu valor mínimo em pontos da fronteira da região limitada por .

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