Mostrar que a função
atinge seu valor máximo no ponto
e seu valor mínimo em pontos da fronteira da região limitada por
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que a função
atinge seu valor máximo no ponto
e seu valor mínimo na fronteira da região limitada por
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente otimização de funções com restrições.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função que estamos analisando:
. Essa é uma função quadrática em três variáveis. O termo quadrático negativo indica que a função tem uma forma de “cúpula”, ou seja, abre para baixo, sugerindo que pode ter um ponto máximo.
Passo 3
Para encontrar o ponto onde a função atinge seu valor máximo sem restrições, calculamos as derivadas parciais da função em relação a
,
e
e igualamos a zero. Isso nos dará os pontos críticos.
Então, o único ponto crítico é
.
Passo 4
Agora, para garantir que esse ponto seja realmente um máximo, podemos analisar a segunda derivada ou simplesmente observar que, por todos os termos quadráticos serem negativos, a função sempre diminui conforme nos afastamos do ponto
. Portanto,
é o ponto onde a função atinge seu valor máximo.
Passo 5
Em seguida, vamos analisar o mínimo da função na fronteira da região limitada por
. Aqui, estamos lidando com uma restrição, então podemos usar o método de Lagrange.
Definimos uma nova função
.
Calculamos as derivadas parciais de
e as igualamos a zero:
Para que as equações sejam satisfeitas, ou os valores de
são zero, o que não satisfaz a restrição
, ou o fator multiplicador é igual a zero.
Resolvendo, encontramos que os pontos onde a função atinge seu mínimo estão na fronteira da esfera
.
Resposta
A função
atinge seu valor máximo no ponto
e seu valor mínimo em pontos da fronteira da região limitada por
.