Calcule as integrais usando coordenadas cilíndricas: integral-1^1 integral-raiz1-y^2^raiz1-y^2 integral-1^1(x^2+y^2)^3 / 2 d z d y d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma integral tripla com limites específicos para , e . A matéria que entra em jogo aqui é cálculo em coordenadas cilíndricas, que é uma forma mais prática de resolver integrais quando temos simetria circular. Para resolver essa integral, vamos precisar entender como mudar as coordenadas cartesianas para cilíndricas e ajustar os limites de integração conforme essa mudança.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a integral que temos:
integral-1^1 integral-raiz1-y^2^raiz1-y^2 integral-1^1 (x^2+y^2)^3 / 2 , dz , dy , dx
Aqui, os limites para são de a , para de a , e para também de a . A função integranda é .

Passo 3

Vamos mudar para coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
x = r cos(theta) y = r sin(theta) z = z
O diferencial de volume em coordenadas cilíndricas é dado por .

Passo 4

Agora, substituímos a função integranda e os limites para as coordenadas cilíndricas. A função se torna , já que e .
Os limites para vão de a (raio da circunferência), para de a (uma volta completa) e para de a (altura da cilindro).

Passo 5

Substituindo tudo na integral tripla, temos:
integralz=-1^1 integralr=0^1 integraltheta=0^2pi r^3 cdot r , dtheta , dr , dz = integral-1^1 integral0^1 integral0^2pi r^4 , dtheta , dr , dz

Passo 6

Vamos resolver a integral em relação a integral0^2pi r^4 , dtheta = r^4 cdot theta |0^2pi = r^4 cdot 2pi primeiro:

Passo 7

Agora, substituímos esse resultado na integral e continuamos com integral-1^1 integral0^1 2pi r^4 , dr , dz :
integral0^1 2pi r^4 , dr = 2pi cdot r^55 |0^1 = 2pi cdot 15 = 2pi5
Integrando em :

Passo 8

Por fim, integramos em integral-1^1 2pi5 , dz = 2pi5 cdot (1 - (-1)) = 2pi5 cdot 2 = 4pi5 :

Resposta

O valor da integral é .

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