Calcule as integrais usando coordenadas cilíndricas:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma integral tripla com limites específicos para , e . A matéria que entra em jogo aqui é cálculo em coordenadas cilíndricas, que é uma forma mais prática de resolver integrais quando temos simetria circular. Para resolver essa integral, vamos precisar entender como mudar as coordenadas cartesianas para cilíndricas e ajustar os limites de integração conforme essa mudança.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a integral que temos:
Aqui, os limites para são de a , para de a , e para também de a . A função integranda é .
Passo 3
Vamos mudar para coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
O diferencial de volume em coordenadas cilíndricas é dado por .
Passo 4
Agora, substituímos a função integranda e os limites para as coordenadas cilíndricas. A função se torna , já que e .
Os limites para vão de a (raio da circunferência), para de a (uma volta completa) e para de a (altura da cilindro).
Passo 5
Substituindo tudo na integral tripla, temos:
Passo 6
Vamos resolver a integral em relação a primeiro:
Passo 7
Agora, substituímos esse resultado na integral e continuamos com integral-1^1 integral0^1 2pi r^4 , dr , dz :