Calcule as integrais usando coordenadas cilíndricas:
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma integral tripla em coordenadas cartesianas:
O objetivo é calcular essa integral usando coordenadas cilíndricas. Para isso, vamos precisar converter a integral de coordenadas cartesianas para cilíndricas e ajustar os limites de integração de acordo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como realizar essa mudança de coordenadas. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
E o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é dado por:
Essa transformação ajuda a simplificar a integral, principalmente quando a função e os limites têm simetria circular.
Passo 3
Agora, vamos transformar o integrando da integral original. O integrando é:
Em coordenadas cilíndricas, isso fica:
Então, multiplicando pelo jacobiano (), temos:
Isso simplifica bastante a integral, já que o integrando se torna apenas 1.
Passo 4
Vamos agora determinar os limites de integração em coordenadas cilíndricas.
: Varia de 0 até 3, pois na integral original vai de 0 a 3 e .
: Vai de 0 a , já que e são não negativos (primeiro quadrante).
: Varia de 0 até , conforme o limite superior da integral original.
Portanto, a integral em coordenadas cilíndricas fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral passo a passo.
Integração em relação a :
Substituindo na integral:
integral0^pi2 integral0^3 r cdot r , dr , dtheta = integral0^pi2 integral0^3 r^2 , dr , dtheta