Calcule as integrais usando coordenadas cilíndricas: integral0^3 integral0^raiz9-x^2 integral0^raizx^2+y^2 1raizx^2+y^2 d z d y d x

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma integral tripla em coordenadas cartesianas:
integral0^3 integral0^raiz9-x^2 integral0^raizx^2+y^2 1raizx^2+y^2 , dz , dy , dx
O objetivo é calcular essa integral usando coordenadas cilíndricas. Para isso, vamos precisar converter a integral de coordenadas cartesianas para cilíndricas e ajustar os limites de integração de acordo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como realizar essa mudança de coordenadas. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
x = r cos theta y = r sin theta z = z
E o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é dado por:
dV = r , dz , dr , dtheta
Essa transformação ajuda a simplificar a integral, principalmente quando a função e os limites têm simetria circular.

Passo 3

Agora, vamos transformar o integrando da integral original. O integrando é:
1raizx^2+y^2
Em coordenadas cilíndricas, isso fica:
1raiz(r cos theta)^2 + (r sin theta)^2 = 1r
Então, multiplicando pelo jacobiano ( r), temos:
1r cdot r = 1
Isso simplifica bastante a integral, já que o integrando se torna apenas 1.

Passo 4

Vamos agora determinar os limites de integração em coordenadas cilíndricas.
  • r: Varia de 0 até 3, pois na integral original x vai de 0 a 3 e r = raizx^2 + y^2.
  • theta: Vai de 0 a pi2, já que x e y são não negativos (primeiro quadrante).
  • z: Varia de 0 até r, conforme o limite superior da integral original.
Portanto, a integral em coordenadas cilíndricas fica:
integral0^pi2 integral0^3 integral0^r 1 cdot r , dz , dr , dtheta

Passo 5

Vamos resolver a integral passo a passo.
  1. Integração em relação a z:
integral0^r 1 , dz = z |0^r = r
  1. Substituindo na integral:
integral0^pi2 integral0^3 r cdot r , dr , dtheta = integral0^pi2 integral0^3 r^2 , dr , dtheta
  1. Integração em relação a r:
integral0^3 r^2 , dr = r^33 |0^3 = 273 = 9
  1. Substituindo novamente:
integral0^pi2 9 , dtheta = 9 cdot theta |0^pi2 = 9 cdot pi2 = 9pi2

Resposta

O valor da integral é 9pi2.

Exercícios relacionados