Esboce a região de integração R e calcule usando coordenadas polares a integral dupla sobre R em cada item abaixo: integral duplaR^R 1raiz16-x^2-y^2 d A, com R=(x, y): x^2+y^2 <= 4, x >= 0, y >= 0.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos esboçar a região de integração e calcular a integral dupla sobre essa região usando coordenadas polares. A região é definida por , e . Isso significa que é um quarto de círculo com raio 2, localizado no primeiro quadrante do plano .

Passo 2

Como vamos usar coordenadas polares, vamos lembrar que e . Também, na integral dupla em coordenadas polares, o elemento de área se transforma em .

Passo 3

Vamos reescrever a função dentro da integral em coordenadas polares. A expressão vira , então a função se transforma em .

Passo 4

Agora, determinamos os limites de integração. Como a região é um quarto de círculo com raio 2:
  • varia de 0 a 2.
  • varia de 0 a (já que estamos no primeiro quadrante).

Passo 5

Agora montamos a integral dupla em coordenadas polares:
integral duplaR 1raiz16 - x^2 - y^2 , dA = integral0^pi2 integral0^2 1raiz16 - r^2 cdot r , dr , dtheta

Passo 6

Vamos resolver a integral interna com relação a integral0^2 rraiz16 - r^2 , dr :
-12 integral16^12 1raizu , du = -12 [ 2raizu ]16^12 = -[ raiz12 - raiz16 ] = raiz16 - raiz12 = 4 - 2raiz3
Fazendo a substituição , então ou . A integral se torna:

Passo 7

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral0^pi2 (4 - 2raiz3) , dtheta = (4 - 2raiz3) cdot [ theta ]0^pi2 = (4 - 2raiz3) cdot pi2

Resposta

A integral dupla vale integral duplaR 1raiz16 - x^2 - y^2 , dA = pi2 (4 - 2raiz3) , ou seja:

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