Esboce a região de integração
e calcule usando coordenadas polares a integral dupla sobre
em cada item abaixo:
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos esboçar a região de integração
e calcular a integral dupla sobre essa região usando coordenadas polares. A região
é definida por
,
e
. Isso significa que
é um quarto de círculo com raio 2, localizado no primeiro quadrante do plano
.
Passo 2
Como vamos usar coordenadas polares, vamos lembrar que
e
. Também, na integral dupla em coordenadas polares, o elemento de área
se transforma em
.
Passo 3
Vamos reescrever a função dentro da integral em coordenadas polares. A expressão
vira
, então a função
se transforma em
.
Passo 4
Agora, determinamos os limites de integração. Como a região
é um quarto de círculo com raio 2:
-
varia de 0 a 2. -
varia de 0 a (já que estamos no primeiro quadrante).
Passo 5
Agora montamos a integral dupla em coordenadas polares:
Passo 6
Vamos resolver a integral interna com relação a
:
Fazendo a substituição
, então
ou
. A integral se torna:
Passo 7
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Resposta
A integral dupla vale
, ou seja:
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Esboce a região de integração
e calcule usando coordenadas polares a integral dupla sobre
em cada item abaixo:
, com
.
Calcule
, onde
é o sólido que está no primeiro octante, entre as esferas
e
.
Calcule as integrais usando coordenadas cilíndricas:
Calcule as integrais usando coordenadas cilíndricas: