Determine a área da região R, onde:
a) R é a região limitada pela curva y = 30 * raiz(x) + 10, pelo eixo x, pela reta x = 4 e pelo eixo y. \lim_{x \to 0} \frac{\sen(x)}{x} = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da região que é limitada pela curva , pelo eixo (que é onde ), pela reta e pelo eixo (onde ). Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente integrais, que nos ajudam a calcular áreas sob curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quais são os limites dessa área. A região está entre e no eixo . A curva que limita essa região é . Para encontrar a área, vamos integrar essa função em relação a de 0 a .

Passo 3

Vamos montar a integral definida que representa a área:
Á
Aqui, estamos somando todas as pequenas áreas infinitesimais ( ) multiplicadas pelo valor da função em cada ponto .

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral. Primeiro, separamos a integral em duas partes:
Sabemos que , então vamos integrar cada termo:
Para :
Para :

Passo 5

Agora, juntamos os resultados das integrais e aplicamos os limites de integração de 0 a :
Á
Simplificando:
Á

Passo 6

Vamos calcular :
Substituindo de volta na expressão da área:
Á

Resposta

A área da região é unidades quadradas.

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