Determine a área da região
, onde:
a) R é a região limitada pela curva
, pelo eixo
, pela reta
pelo eixo
.
a) R é a região limitada pela curva
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da região
que é limitada pela curva
, pelo eixo
(que é onde
), pela reta
e pelo eixo
(onde
). Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente integrais, que nos ajudam a calcular áreas sob curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender quais são os limites dessa área. A região está entre
e
no eixo
. A curva que limita essa região é
. Para encontrar a área, vamos integrar essa função em relação a
de 0 a
.
Passo 3
Vamos montar a integral definida que representa a área:
Aqui, estamos somando todas as pequenas áreas infinitesimais (
) multiplicadas pelo valor da função
em cada ponto
.
Passo 4
Agora, vamos resolver a integral. Primeiro, separamos a integral em duas partes:
Sabemos que
, então vamos integrar cada termo:
Para
:
Para
:
Passo 5
Agora, juntamos os resultados das integrais e aplicamos os limites de integração de 0 a
:
Simplificando:
Passo 6
Vamos calcular
:
Substituindo de volta na expressão da área:
Resposta
A área da região
é
unidades quadradas.