Calcule as integrais usando coordenadas cilíndricas: integral0^3 integral-raiz9-y^2^raiz9-y^2 integral0^9-raizx^2+y^2 d z d x d y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular uma integral tripla usando coordenadas cilíndricas. A integral é:
integral0^3 integral-raiz9-y^2^raiz9-y^2 integral0^9-raizx^2+y^2 dz , dx , dy
Vamos usar coordenadas cilíndricas porque a região de integração tem simetria circular. Precisamos converter os limites de integração e a função para essas coordenadas.

Passo 2

Primeiro, lembre-se que nas coordenadas cilíndricas, temos as relações:
  • O elemento de volume é

Passo 3

Vamos entender os limites de integração:
  • varia de 0 a 3.
  • Para cada , varia de a , que representa um círculo de raio 3 no plano xy.
  • Para cada ponto , varia de 0 a .

Passo 4

Em coordenadas cilíndricas, vira . Então, o limite superior de fica .
Além disso, como vai de 0 a 3 e de a , o ângulo varia de a para cobrir a parte superior do círculo.

Passo 5

Agora, reescrevemos a integral em coordenadas cilíndricas:
integraltheta=-pi2^pi2 integralr=0^3 integralz=0^9 - r r , dz , dr , dtheta

Passo 6

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integraremos em relação a integral0^9 - r dz = (9 - r) - 0 = 9 - r :
integral-pi2^pi2 integral0^3 r (9 - r) , dr , dtheta
Então, a integral fica:

Passo 7

Agora, vamos integrar em relação a integral0^3 r (9 - r) , dr = integral0^3 (9r - r^2) , dr = [ 9r^22 - r^33 ]0^3 :
( 9 times 92 - 273 ) - 0 = ( 812 - 9 ) = 812 - 182 = 632
Calculando:

Passo 8

Agora a integral fica:
integral-pi2^pi2 632 , dtheta = 632 [ theta ]-pi2^pi2 = 632 ( pi2 - ( -pi2 ) ) = 632 times pi = 63pi2

Resposta

O valor da integral é .

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