Calcule as integrais usando coordenadas cilíndricas:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular uma integral tripla usando coordenadas cilíndricas. A integral é:
Vamos usar coordenadas cilíndricas porque a região de integração tem simetria circular. Precisamos converter os limites de integração e a função para essas coordenadas.
Passo 2
Primeiro, lembre-se que nas coordenadas cilíndricas, temos as relações:
-
-
-
- O elemento de volume é
Passo 3
Vamos entender os limites de integração:
-
varia de 0 a 3. - Para cada
, varia de a , que representa um círculo de raio 3 no plano xy. - Para cada ponto
, varia de 0 a .
Passo 4
Em coordenadas cilíndricas,
vira
. Então, o limite superior de
fica
.
Além disso, como
vai de 0 a 3 e
de
a
, o ângulo
varia de
a
para cobrir a parte superior do círculo.
Passo 5
Agora, reescrevemos a integral em coordenadas cilíndricas:
Passo 6
Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integraremos em relação a
:
Então, a integral fica:
Passo 7
Agora, vamos integrar em relação a
:
Calculando:
Passo 8
Agora a integral fica:
Resposta
O valor da integral é
.
Exercícios relacionados
Esboce a região de integração
e calcule usando coordenadas polares a integral dupla sobre
em cada item abaixo:
.
Esboce a região de integração
e calcule usando coordenadas polares a integral dupla sobre
em cada item abaixo:
, com
.
Calcule as integrais usando coordenadas cilíndricas:
Determine a área da região
, onde:
a) R é a região limitada pela curva , pelo eixo
, pela reta
pelo eixo
.
a) R é a região limitada pela curva