Esboce a região de integração R e calcule usando coordenadas polares a integral dupla sobre R em cada item abaixo: integral duplaR 2 x y d A, com R=(x, y): x^2+y^2 <= 9, y >= 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que resolver a integral dupla integral duplaR 2 x y , dA, onde a região R é definida por x^2+y^2 <= 9 e y >= 0. Isso significa que estamos trabalhando com coordenadas polares para integrar sobre um semicírculo de raio 3 (já que x^2+y^2 <= 9 corresponde a um círculo de raio 3 e y >= 0 limita para a metade superior). Vamos usar coordenadas polares porque elas simplificam a integração em regiões circulares.

Passo 2

Primeiro, vamos converter as coordenadas cartesianas (x, y) para polares (r, theta):
  • x = r costheta
  • y = r sintheta
  • O diferencial de área em coordenadas polares é dA = r , dr , dtheta

Passo 3

Substituindo x, y e dA na integral original:
integral duplaR 2xy , dA = integral0^pi integral0^3 2(r costheta)(r sintheta) cdot r , dr , dtheta
Aqui, os limites de integração para theta vão de 0 a pi (para cobrir a metade superior do círculo) e para r vão de 0 a 3 (o raio do círculo).

Passo 4

Simplificando a expressão dentro da integral:
2(r costheta)(r sintheta) cdot r = 2 r^3 costheta sintheta
Então, a integral fica:
integral0^pi integral0^3 2 r^3 costheta sintheta , dr , dtheta

Passo 5

Vamos integrar primeiro em relação a r:
integral0^3 2 r^3 costheta sintheta , dr = 2 costheta sintheta integral0^3 r^3 , dr
A integral de r^3 é r^44, então:
2 costheta sintheta [ r^44 ]0^3 = 2 costheta sintheta ( 814 ) = 812 costheta sintheta

Passo 6

Agora, integramos em relação a theta:
812 integral0^pi costheta sintheta , dtheta
Podemos resolver essa integral usando uma substituição simples. Seja u = sintheta, então du = costheta , dtheta. Assim:
812 integral0^pi u , du = 812 [ u^22 ]0^pi
Mas quando theta = 0 ou theta = pi, u = sintheta = 0, então:
812 ( 0^22 - 0^22 ) = 0

Resposta

O valor da integral dupla é 0.

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