Esboce a região de integração
e calcule usando coordenadas polares a integral dupla sobre
em cada item abaixo:
, com
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que resolver a integral dupla
, onde a região
é definida por
e
. Isso significa que estamos trabalhando com coordenadas polares para integrar sobre um semicírculo de raio 3 (já que
corresponde a um círculo de raio 3 e
limita para a metade superior). Vamos usar coordenadas polares porque elas simplificam a integração em regiões circulares.
Passo 2
Primeiro, vamos converter as coordenadas cartesianas
para polares
:
-
-
- O diferencial de área em coordenadas polares é
Passo 3
Substituindo
,
e
na integral original:
Aqui, os limites de integração para
vão de
a
(para cobrir a metade superior do círculo) e para
vão de
a
(o raio do círculo).
Passo 4
Simplificando a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 5
Vamos integrar primeiro em relação a
:
A integral de
é
, então:
Passo 6
Agora, integramos em relação a
:
Podemos resolver essa integral usando uma substituição simples. Seja
, então
. Assim:
Mas quando
ou
,
, então:
Resposta
O valor da integral dupla é
.
Exercícios relacionados
Calcule
, onde
é o sólido que está no primeiro octante, entre as esferas
e
.
Esboce a região de integração
e calcule usando coordenadas polares a integral dupla sobre
em cada item abaixo:
, com
.
Esboce a região de integração
e calcule usando coordenadas polares a integral dupla sobre
em cada item abaixo:
.
Calcule as integrais usando coordenadas cilíndricas: