Use coordenadas cilíndricas para encontrar o volume dos seguintes sólidos: O sólido limitado pelo plano
e pelo hiperboloide
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido usando coordenadas cilíndricas. O sólido é limitado pelo plano
e pelo hiperboloide
. Pra isso, vamos precisar entender como transformar as coordenadas cartesianas (
) para coordenadas cilíndricas (
) e montar a integral para calcular o volume.
Passo 2
Primeiro, vamos converter a equação do hiperboloide para coordenadas cilíndricas. Sabemos que:
Então,
vira:
Portanto, a equação do hiperboloide fica:
Passo 3
Agora, vamos determinar os limites de integração. O sólido está entre
e
. Para encontrar até onde
vai, precisamos que
:
Então,
varia de 0 a 4.
Passo 4
O próximo passo é montar a integral em coordenadas cilíndricas para calcular o volume. A fórmula para o volume
em coordenadas cilíndricas é:
Aqui, o
fora do integral é o fator que vem do jacobiano da transformação para coordenadas cilíndricas.
Passo 5
Vamos resolver a integral de dentro para fora. Primeiro, integramos em relação a
:
Então, a integral fica:
Passo 6
Vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
Primeiro, calculamos
:
Então, a primeira parte fica
.
Passo 7
Agora, vamos calcular
. Fazemos uma substituição:
A integral vira:
Então, a segunda parte da integral é
.
Passo 8
Voltando à expressão do volume:
Essa expressão é constante em relação a
, então a integral fica:
Resposta
O volume do sólido é
.