Use coordenadas cilíndricas para encontrar o volume dos seguintes sólidos: O sólido limitado pelo plano z = 0 e pelo hiperboloide z = raiz(17) - raiz(1 + x^2 + y^2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido usando coordenadas cilíndricas. O sólido é limitado pelo plano e pelo hiperboloide . Pra isso, vamos precisar entender como transformar as coordenadas cartesianas ( ) para coordenadas cilíndricas ( ) e montar a integral para calcular o volume.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a equação do hiperboloide para coordenadas cilíndricas. Sabemos que:
Então, vira:
Portanto, a equação do hiperboloide fica:

Passo 3

Agora, vamos determinar os limites de integração. O sólido está entre e . Para encontrar até onde vai, precisamos que :
Então, varia de 0 a 4.

Passo 4

O próximo passo é montar a integral em coordenadas cilíndricas para calcular o volume. A fórmula para o volume em coordenadas cilíndricas é:
Aqui, o fora do integral é o fator que vem do jacobiano da transformação para coordenadas cilíndricas.

Passo 5

Vamos resolver a integral de dentro para fora. Primeiro, integramos em relação a :
Então, a integral fica:

Passo 6

Vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
Primeiro, calculamos :
Então, a primeira parte fica .

Passo 7

Agora, vamos calcular . Fazemos uma substituição:
A integral vira:
Então, a segunda parte da integral é .

Passo 8

Voltando à expressão do volume:
Essa expressão é constante em relação a , então a integral fica:

Resposta

O volume do sólido é .

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