Use coordenadas cilíndricas para encontrar o volume dos seguintes sólidos: O sólido no primeiro octante limitado pelo cilindro
e pelo plano
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que está no primeiro octante, limitado por um cilindro de raio 1 (r = 1) e pelo plano z = x, usando coordenadas cilíndricas. Para isso, vamos usar integrais múltiplas em coordenadas cilíndricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são coordenadas cilíndricas. Elas são uma forma de representar pontos no espaço usando três valores: r (distância ao eixo z), θ (ângulo em relação ao eixo x) e z (altura). A relação entre coordenadas cartesianas (x, y, z) e cilíndricas é:
Passo 3
Agora, vamos entender os limites do nosso sólido. Estamos no primeiro octante, então:
Também temos que o cilindro é dado por r = 1, ou seja, r varia de 0 a 1.
E o plano que limita o sólido é z = x. Em coordenadas cilíndricas, z = r \cos \theta.
Passo 4
Para encontrar o volume, vamos configurar a integral tripla em coordenadas cilíndricas. A fórmula do volume em coordenadas cilíndricas é:
O r aqui é o fator de escala que vem da mudança de coordenadas.
Passo 5
Vamos determinar os limites de integração para cada variável:
- θ varia de 0 a
porque estamos no primeiro octante. - r varia de 0 a 1, conforme o cilindro r = 1.
- z varia de 0 até o plano z = r \cos \theta.
Passo 6
Agora, colocamos tudo junto na integral:
Passo 7
Vamos resolver a integral em relação a z primeiro:
Passo 8
Agora, a integral fica:
Vamos resolver a integral em relação a r:
Então, temos:
Passo 9
Resolvendo a última integral:
Passo 10
Multiplicando pelo fator
:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.