Use coordenadas cilíndricas para encontrar o volume dos seguintes sólidos: O sólido no primeiro octante limitado pelo cilindro r = 1 e pelo plano z = x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que está no primeiro octante, limitado por um cilindro de raio 1 (r = 1) e pelo plano z = x, usando coordenadas cilíndricas. Para isso, vamos usar integrais múltiplas em coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são coordenadas cilíndricas. Elas são uma forma de representar pontos no espaço usando três valores: r (distância ao eixo z), θ (ângulo em relação ao eixo x) e z (altura). A relação entre coordenadas cartesianas (x, y, z) e cilíndricas é:

Passo 3

Agora, vamos entender os limites do nosso sólido. Estamos no primeiro octante, então:
Também temos que o cilindro é dado por r = 1, ou seja, r varia de 0 a 1.
E o plano que limita o sólido é z = x. Em coordenadas cilíndricas, z = r \cos \theta.

Passo 4

Para encontrar o volume, vamos configurar a integral tripla em coordenadas cilíndricas. A fórmula do volume em coordenadas cilíndricas é:
O r aqui é o fator de escala que vem da mudança de coordenadas.

Passo 5

Vamos determinar os limites de integração para cada variável:
  • θ varia de 0 a porque estamos no primeiro octante.
  • r varia de 0 a 1, conforme o cilindro r = 1.
  • z varia de 0 até o plano z = r \cos \theta.

Passo 6

Agora, colocamos tudo junto na integral:

Passo 7

Vamos resolver a integral em relação a z primeiro:

Passo 8

Agora, a integral fica:
Vamos resolver a integral em relação a r:
Então, temos:

Passo 9

Resolvendo a última integral:

Passo 10

Multiplicando pelo fator :

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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