Use coordenadas esféricas para encontrar o volume dos seguintes sólidos: O sólido limitado pela esfera rho = 2 cos(phi) e pelo hemisfério rho = 1, z >= 0.

Passo 1

Vamos entender o enunciado! Precisamos encontrar o volume de um sólido que é limitado pela esfera dada por e pelo hemisfério , com z ≥ 0. Para resolver isso, vamos usar coordenadas esféricas, que são ótimas para lidar com superfícies esféricas. Vamos precisar saber como configurar os limites de integração nessas coordenadas e como calcular o volume usando integrais triplas.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar as duas superfícies:
  • A esfera .
  • O hemisfério com z ≥ 0.
Em coordenadas esféricas, rho representa a distância do ponto à origem, phi é o ângulo polar (medido a partir do eixo z) e theta é o ângulo azimutal.

Passo 3

Precisamos encontrar a interseção entre as duas superfícies para determinar os limites de integração. Igualando rho das duas equações:
Então, a esfera e o hemisfério se intersectam quando .

Passo 4

Agora, vamos definir os limites de integração:
  • rho varia de 0 até a menor das duas superfícies em cada ponto, ou seja, de 0 a min . Observando a interseção, para , , então rho vai de 0 a 1. Para , rho vai de 0 a .
  • phi varia de 0 a pi / 2 porque estamos considerando apenas z ≥ 0.
  • theta varia de 0 a para cobrir toda a volta ao redor do eixo z.

Passo 5

Vamos dividir o volume em duas partes devido aos diferentes limites de rho:
  1. Para , rho varia de 0 a 1.
  2. Para , rho varia de 0 a .
O volume total será a soma dos volumes dessas duas regiões.

Passo 6

Calculando o volume:
Integrando em rho:
Simplificando:
Integrando em phi:
Para a primeira integral:
Para a segunda integral, fazemos a substituição :
Então:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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