Use coordenadas esféricas para encontrar o volume dos seguintes sólidos: O sólido limitado pela esfera
e pelo hemisfério
.
Passo 1
Vamos entender o enunciado! Precisamos encontrar o volume de um sólido que é limitado pela esfera dada por
e pelo hemisfério
, com
. Para resolver isso, vamos usar coordenadas esféricas, que são ótimas para lidar com superfícies esféricas. Vamos precisar saber como configurar os limites de integração nessas coordenadas e como calcular o volume usando integrais triplas.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar as duas superfícies:
- A esfera
. - O hemisfério
com .
Em coordenadas esféricas,
representa a distância do ponto à origem,
é o ângulo polar (medido a partir do eixo z) e
é o ângulo azimutal.
Passo 3
Precisamos encontrar a interseção entre as duas superfícies para determinar os limites de integração. Igualando
das duas equações:
Então, a esfera e o hemisfério se intersectam quando
.
Passo 4
Agora, vamos definir os limites de integração:
-
varia de 0 até a menor das duas superfícies em cada ponto, ou seja, de 0 a min . Observando a interseção, para , , então vai de 0 a 1. Para , vai de 0 a . -
varia de 0 a porque estamos considerando apenas . -
varia de 0 a para cobrir toda a volta ao redor do eixo z.
Passo 5
Vamos dividir o volume em duas partes devido aos diferentes limites de
:
- Para
, varia de 0 a 1. - Para
, varia de 0 a .
O volume total será a soma dos volumes dessas duas regiões.
Passo 6
Calculando o volume:
Integrando em
:
Simplificando:
Integrando em
:
Para a primeira integral:
Para a segunda integral, fazemos a substituição
:
Então:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.
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Calcule as integrais usando coordenadas esféricas:
Calcule as integrais usando coordenadas esféricas:
, onde
é a esfera unitária.
Calcule as integrais usando coordenadas esféricas:
, onde
é a região entre as esferas de raios 1 e 2
Use coordenadas esféricas para encontrar o volume dos seguintes sólidos: O sólido fora do cone
e dentro da esfera
.